関数の拡張と縮小
定義1
関数 $f : X \to Y$が与えられたとしよう。$U \subset X \subset V$が成立するとしよう。
縮小写像
次を満たす$f |_{U} \to Y$を$f$の縮小写像Uへの$f$の制限と言う。
$$ f|_{U} : U \to Y \quad \text{and} \quad f|_{U}(x) = f (x),\quad \forall x \in U $$
拡張
次を満たす$\tilde{f} \to Y$を$f$の拡張Vへの$f$の拡張と言う。
$$ \tilde{f} : V \to Y \quad \text{and} \quad \tilde{f}(x) = f (x),\quad \forall x \in X $$
説明
通常、縮小写像(制限とも言われる)、拡張という翻訳語より、そのまま英語読みの[リストラクション]、[エクステンション]と言うことが多い。
簡単に言えば、関数の形をそのまま保ちながら、定義域を狭めたり広げたりすることである。
定義によって、明らかに$f$は$\tilde{f}$のリストラクションであり、$f|_{U}$のエクステンションである。
Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1989), p99 ↩︎