三次元単位球の座標分割写像
📂幾何学三次元単位球の座標分割写像
公式
3次元空間の単位球は、下記の6つの座標片マッピングによって表される。(u,v)∈U={(u,v):u2+v2<1}について、
x(0,0,1)(u,v)x(0,0,−1)(u,v)x(0,1,0)(u,v)x(0,−1,0)(u,v)x(1,0,0)(u,v)x(−1,0,0)(u,v)=(u,v,1−u2−v2)=(u,v,−1−u2−v2)=(u,1−u2−v2,v)=(u,−1−u2−v2,v)=(1−u2−v2,u,v)=(−1−u2−v2,u,v)
説明
座標片マッピングは、私たちが表面と思っている概念を数学的に表現したものだ。実際に表面がどのように座標片マッピングで表されるか、具体例を見てみよう。3次元空間の単位球面を想像してみよう。そうすると、次のように定義される座標片マッピングx(0,0,1):R2→R3を考えることができる。
x(0,0,1)(u,v)=(u,v,1−u2−v2),(u,v)∈U={(u,v):u2+v2<1}
この座標片は球面のz>0を表すことになる。また、以下の座標片
x(0,0,−1)(u,v)=(u,v,−1−u2−v2),(u,v)∈U={(u,v):u2+v2<1}
はz<0によって表される球面を表す。したがって、次の図の赤い線で表されたxy−平面と交差する部分、つまり赤道を除くと、3次元単位球面を2つの座標片x(0,0,1),x(0,0,−1)で表すことができる。

さて、赤道までカバーするためにもっと座標片マッピングを追加してみよう。
x(0,1,0)(u,v)=(u,1−u2−v2,v),(u,v)∈U={(u,v):u2+v2<1}x(0,−1,0)(u,v)=(u,−1−u2−v2,v),(u,v)∈U={(u,v):u2+v2<1}
上の2つの座標片で、球の側面を下の左図のように表すことができる。

一見すると、これら4つの座標片で球面を完全に表すことができそうに見えるが、そうではない。右図に示された2点(1,0,0)と(−1,0,0)は、上記の4つの座標片のいずれにも表されていない。したがって、以下の2つの座標片がさらに必要だ。
x(1,0,0)(u,v)=(1−u2−v2,u,v),(u,v)∈U={(u,v):u2+v2<1}x(−1,0,0)(u,v)=(−1−u2−v2,u,v),(u,v)∈U={(u,v):u2+v2<1}
ここで、上で定義した6つの座標片で3次元単位球を表すことができ、球の全ての点は少なくとも1つの座標片で表される。