濃密な部分集合と閉包
📂バナッハ空間濃密な部分集合と閉包
凝集部分集合
定義
W⊂Vをノルム空間Vの部分集合とする。任意のv∈Vとϵ>0に対して、以下を満たすw∈Wが常に存在するならば、WをVの凝集部分集合dense subsetと言う。
∥v−w∥≤ϵ
説明
もしWがVの凝集部分空間であれば、V内の任意の元は、あるWの元によってよく近似されることを意味する。
v∈Vでϵ=k1(k∈N)とする。WがVの凝集部分集合であれば、定義により、以下を満たすwk∈Wが存在する。
∥v−wk∥≤k1
したがって、数列{wk}はk→∞の時、vに収束する。
k→∞limwk=v
従って、WがVの凝集部分集合であるということは、v∈Vに収束するWの数列{wk}が存在するということと同じである。
クロージャ
定義
Wをノルム空間Vの部分集合とする。与えられたϵ>0に対して、∥v−w∥≤ϵを満たすw∈Wが存在するすべてのv∈Vの集合をWのクロージャと定義し、Wと表記する。
W:={v∈V∣for each ϵ>0,∃w∈Ws.t. ∥v−w∥≤ϵ}
説明
凝集部分集合の定義とは反対に定義されたことが分かる。すべてのw∈W⊂Vは∥w−w∥≤0を満たすため、自然とW⊂Wが成立する。
定理
Wをノルム空間Vの部分集合とする。それから、WがVで凝集していることはW=Vであることと同値である。
証明
凝集部分集合とクロージャの定義から自明である。
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