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濃密な部分集合と閉包 📂バナッハ空間

濃密な部分集合と閉包

凝集部分集合

定義1

WVW \subset Vをノルム空間VVの部分集合とする。任意のvV\mathbf{v} \in Vϵ>0\epsilon \gt 0に対して、以下を満たすwW\mathbf{w} \in Wが常に存在するならば、WWVVの凝集部分集合dense subsetと言う。

vwϵ \left\| \mathbf{v} - \mathbf{w} \right\| \le \epsilon

説明

もしWWVVの凝集部分空間であれば、VV内の任意の元は、あるWWの元によってよく近似されることを意味する。

vV\mathbf{v} \in Vϵ=1k(kN)\epsilon = \dfrac{1}{k} (k \in \N)とする。WWVVの凝集部分集合であれば、定義により、以下を満たすwkW\mathbf{w}_{k} \in Wが存在する。

vwk1k \left\| \mathbf{v} - \mathbf{w}_{k} \right\| \le \dfrac{1}{k}

したがって、数列{wk}\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}kk \to \inftyの時、v\mathbf{v}に収束する。

limkwk=v \lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{w}_{k} = \mathbf{v}

従って、WWVVの凝集部分集合であるということは、vV\mathbf{v} \in Vに収束するWWの数列{wk}\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}が存在するということと同じである。

クロージャ

定義

WWをノルム空間VVの部分集合とする。与えられたϵ>0\epsilon \gt 0に対して、vwϵ\left\| \mathbf{v} - \mathbf{w} \right\| \le \epsilonを満たすwW\mathbf{w} \in Wが存在するすべてのvV\mathbf{v} \in Vの集合をWWのクロージャと定義し、W\overline{W}と表記する。

W:={vVfor each ϵ>0,wWs.t. vwϵ} \overline{W} := \left\{ \mathbf{v} \in V | \text{for each } \epsilon \gt 0, \exist \mathbf{w} \in W \text{s.t. } \left\| \mathbf{v} - \mathbf{w} \right\| \le \epsilon\right\}

説明

凝集部分集合の定義とは反対に定義されたことが分かる。すべてのwWV\mathbf{w}\in W\subset Vww0\left\| \mathbf{w} - \mathbf{w} \right\| \le 0を満たすため、自然とWWW \subset \overline{W}が成立する。

定理

WWをノルム空間VVの部分集合とする。それから、WWVVで凝集していることはW=V\overline{W} = Vであることと同値である。

証明

凝集部分集合とクロージャの定義から自明である。


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p35-36 ↩︎