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階乗に関連する公式들 📂関数

階乗に関連する公式들

連続する奇数の積

整数 n0n \ge 0に対して、次が成り立つ。

(2n1)(2n3)531=(2n)!2n(n!)=(2n1)!! (2n-1) \cdot (2n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 = \dfrac{(2n)!}{2^{n} (n!)} = (2n-1)!!

ここで、n!!n!!ダブルファクトリアルを意味する。

証明

詳細な説明は省略する。

31= 432142=4!22(21)=(22)!22(2!)531= 654321642=6!23(321)=(23)!23(3!)7531= 876543218642=8!24(4321)=(24)!24(4!)(2n1)(2n3)531= (2n)!2n(n!) \begin{align*} 3 \cdot 1 =&\ \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \dfrac{4!}{2^{2}(2 \cdot 1)} = \dfrac{(2 \cdot 2)!}{2^{2}(2!)} \\ 5 \cdot 3 \cdot 1 =&\ \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} = \dfrac{6!}{2^{3}(3 \cdot 2 \cdot 1)} = \dfrac{(2 \cdot 3)!}{2^{3}(3!)} \\ 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 =&\ \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \dfrac{8!}{2^{4}(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \dfrac{(2 \cdot 4)!}{2^{4}(4!)} \\ \vdots& \\ (2n-1) \cdot (2n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 =&\ \dfrac{(2n)!}{2^{n}(n!)} \end{align*}

連続する偶数の積

整数 n0n \ge 0に対して、次が成り立つ。

(2n)(2n2)642=2n(n!) (2n) \cdot (2n-2) \cdots 6 \cdot 4 \cdot 2 = 2^{n}(n!)

証明

詳細な説明は省略する。

42= 22(21)=22(2!)642= 23(321)=23(3!)8642= 24(4321)=24(4!)(2n)(2n2)642= 2n(n!) \begin{align*} 4 \cdot 2 =&\ 2^{2}(2 \cdot 1) = 2^{2}(2!) \\ 6 \cdot 4 \cdot 2 =&\ 2^{3}(3 \cdot 2 \cdot 1) = 2^{3}(3!) \\ 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 =&\ 2^{4}(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 2^{4}(4!) \\ \vdots& \\ (2n) \cdot (2n-2) \cdots 6 \cdot 4 \cdot 2 =&\ 2^{n}(n!) \end{align*}