階乗に関連する公式들
📂関数階乗に関連する公式들
連続する奇数の積
整数 n≥0に対して、次が成り立つ。
(2n−1)⋅(2n−3)⋯5⋅3⋅1=2n(n!)(2n)!=(2n−1)!!
ここで、n!!はダブルファクトリアルを意味する。
証明
詳細な説明は省略する。
3⋅1=5⋅3⋅1=7⋅5⋅3⋅1=⋮(2n−1)⋅(2n−3)⋯5⋅3⋅1= 4⋅24⋅3⋅2⋅1=22(2⋅1)4!=22(2!)(2⋅2)! 6⋅4⋅26⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=23(3⋅2⋅1)6!=23(3!)(2⋅3)! 8⋅6⋅4⋅28⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=24(4⋅3⋅2⋅1)8!=24(4!)(2⋅4)! 2n(n!)(2n)!
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連続する偶数の積
整数 n≥0に対して、次が成り立つ。
(2n)⋅(2n−2)⋯6⋅4⋅2=2n(n!)
証明
詳細な説明は省略する。
4⋅2=6⋅4⋅2=8⋅6⋅4⋅2=⋮(2n)⋅(2n−2)⋯6⋅4⋅2= 22(2⋅1)=22(2!) 23(3⋅2⋅1)=23(3!) 24(4⋅3⋅2⋅1)=24(4!) 2n(n!)
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