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L∞空間 📂ルベーグ空間

L∞空間

定義1

  • ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}開集合と呼ぼう。Ω\Omega上の可測関数 uuに対して、以下の条件を満たす定数KKが存在する場合、uuΩ\Omega上で本質的に有界essentially boundedと言われる。

    u(x)K a.e. on Ω \left| u(x) \right| \le K \text{ a.e. on } \Omega

    ここで、a.e.\text{a.e.}ほとんど至る所でを意味する。

  • そのようなKK上限u\left| u \right|本質的上限essential supremumと言い、以下のように表示する。

    ess supxΩu(x):=inf{K:u(x)K a.e. on Ω} \underset{x\in \Omega}{\text{ess sup}}\left| u(x) \right| := \inf \left\{ K : \left| u(x) \right| \le K \text{ a.e. on } \Omega \right\}

  • Ω\Omega上で本質的に有界なすべての関数uuの集合をL(Ω)L^{\infty}(\Omega)と定義する。

    L(Ω):={u:u is essentially bounded on Ω} L^{\infty}(\Omega) := \left\{ u : u \text{ is essentially bounded on } \Omega \right\}

説明

LL^{\infty}空間はLインフィニティー空間と読む。

‘ほとんど至る所で有界’という言葉は’正直に言って有界だ’、‘率直に言って有界だ’と同じで、‘本質的に有界’と言っても問題ない。特にLpL^{p}空間では、積分に関して話すため、ほとんど至る所で有界なら文字通り本質的に有界である。

一方LL^{\infty}空間はノルム空間になり、定義された本質的上限をそのまま使って良い。

u=ess supxΩu(x),uL(Ω) \left\| u \right\|_{\infty} = \underset{x\in \Omega}{\text{ess sup}}\left| u(x) \right|, \quad u \in L^{\infty}(\Omega)

これが実際にノルムであることを確かめるのは難しくない。重要な事実は、表記法から推測できるように、これが実際にup\left\| u \right\|_{p}の極限と同じであることである。p<p \lt \inftyに対してuLLpu \in L^{\infty} \cap L^{p}なら

u=limpup \left\| u \right\|_{\infty} = \lim \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p}

また1<p,p<1 \lt p, p^{\prime} \lt \inftyで成立したヘルダーの不等式その系p=1,p=p = 1, p^{\prime} = \inftyp=,p=1p = \infty, p^{\prime} = 1に対しても拡張される。

ヘルダーの不等式

以下の式を満たす二つの定数1p,1p1 \le p \le \infty, 1 \le p^{\prime} \le \inftyが与えられたとする。

1p+1p=1(or p=pp1) \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{\prime}} = 1 \left(\text{or } p^{\prime} = \frac{p}{p-1} \right)

もしuLp(Ω)u \in L^p(\Omega), vLp(Ω)v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)ならuvL1(Ω)uv \in L^1(\Omega)であり、下記の不等式が成立する。

uv1=Ωu(x)v(x)dxupvp \| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p27 ↩︎