L∞空間
📂ルベーグ空間L∞空間
定義
Ω⊂Rnを開集合と呼ぼう。Ω上の可測関数 uに対して、以下の条件を満たす定数Kが存在する場合、uはΩ上で本質的に有界essentially boundedと言われる。
∣u(x)∣≤K a.e. on Ω
ここで、a.e.はほとんど至る所でを意味する。
そのようなKの上限を∣u∣の本質的上限essential supremumと言い、以下のように表示する。
x∈Ωess sup∣u(x)∣:=inf{K:∣u(x)∣≤K a.e. on Ω}
Ω上で本質的に有界なすべての関数uの集合をL∞(Ω)と定義する。
L∞(Ω):={u:u is essentially bounded on Ω}
説明
L∞空間はLインフィニティー空間と読む。
‘ほとんど至る所で有界’という言葉は’正直に言って有界だ’、‘率直に言って有界だ’と同じで、‘本質的に有界’と言っても問題ない。特にLp空間では、積分に関して話すため、ほとんど至る所で有界なら文字通り本質的に有界である。
一方L∞空間はノルム空間になり、定義された本質的上限をそのまま使って良い。
∥u∥∞=x∈Ωess sup∣u(x)∣,u∈L∞(Ω)
これが実際にノルムであることを確かめるのは難しくない。重要な事実は、表記法から推測できるように、これが実際に∥u∥pの極限と同じであることである。p<∞に対してu∈L∞∩Lpなら
∥u∥∞=p→∞lim∥u∥p
また1<p,p′<∞で成立したヘルダーの不等式とその系がp=1,p′=∞とp=∞,p′=1に対しても拡張される。
ヘルダーの不等式
以下の式を満たす二つの定数1≤p≤∞,1≤p′≤∞が与えられたとする。
p1+p′1=1(or p′=p−1p)
もしu∈Lp(Ω), v∈Lp′(Ω)ならuv∈L1(Ω)であり、下記の不等式が成立する。
∥uv∥1=∫Ω∣u(x)v(x)∣dx≤∥u∥p∥v∥p′