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デル演算子を含むベクトル積分の様々な公式 📂数理物理学

デル演算子を含むベクトル積分の様々な公式

公式1

T,UT, Uをスカラー関数、v\mathbf{v}をベクトル関数としよう。それでは、次の式が成り立つ。

∫V(∇T)dτ=∮STda \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} T d \mathbf{a} \end{equation}

∫V(∇×v)dτ=−∮Sv×da \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau = - \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \times d \mathbf{a} \end{equation}

∫V[T∇2U+(∇T)⋅(∇U)]dτ=∮S(T∇U)⋅da \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} \left[ T \nabla^{2} U + (\nabla T) \cdot (\nabla U) \right] d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} \end{equation}

∫V(T∇2U−U∇2T)dτ=∮S(T∇U−U∇T)⋅da \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} \left( T \nabla^{2} U - U \nabla^{2} T \right) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \left( T \nabla U - U \nabla T \right) \cdot d \mathbf{a} \end{equation}

∫S∇T×da=−∮PTdl \begin{equation} \int_{\mathcal{S}} \nabla T \times d \mathbf{a} = - \oint_{\mathcal{P}} T d \mathbf{l} \end{equation}

説明

上の公式を証明するのは、グリフィスの電磁気学 第4版 第1章 61番の練習問題だ。

(3),(4)(3), (4)はグリーンの定理とも呼ばれる。

証明

以下の全ての証明で、c\mathbf{c}は定数ベクトルを意味している。

(1)

発散定理

∫V(∇⋅v)dτ=∮Sv⋅da \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a}

発散定理にv=Tc\mathbf{v} = T\mathbf{c}を代入しよう。

∫V∇⋅(Tc)dτ=∮S(Tc)⋅da \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (T\mathbf{c}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a}

すると、積の法則 ∇⋅(fA)=f(∇⋅A)+A⋅(∇f)\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f)により、左辺は以下のように書き換えられる。

∫VT(∇⋅c)dτ+∫Vc⋅(∇T)dτ=∮S(Tc)⋅da \int_{\mathcal{V}} T(\nabla \cdot \mathbf{c}) d \tau + \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla T) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a}

この時、左辺の第1項でc\mathbf{c}が定数ベクトルであるため、∇⋅c=0\nabla \cdot \mathbf{c}=0である。したがって、

∫Vc⋅(∇T)dτ= ∮S(Tc)⋅da  ⟹  c⋅∫V(∇T)dτ= c⋅∮STda  ⟹  ∫V(∇T)dτ= ∮STda \begin{align*} \\ && \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla T) d \tau =&\ \oint_{\mathcal{S}} (T \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} \\ \implies && \mathbf{c} \cdot \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) d \tau =&\ \mathbf{c} \cdot \oint_{\mathcal{S}} T d \mathbf{a} \\ \implies && \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) d \tau =&\ \oint_{\mathcal{S}} T d \mathbf{a} \end{align*}

■

(2)

発散定理

∫V(∇⋅v)dτ=∮Sv⋅da \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a}

発散定理にv=v×c\mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{c}を代入しよう。

∫V∇⋅(v×c)dτ=∮S(v×c)⋅da \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a}

すると、積の法則 ∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})により、左辺は以下のように書き換えられる。

∫Vc⋅(∇×v)dτ−∫Vv⋅(∇×c)dτ=∮S(v×c)⋅da \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau - \int_{\mathcal{V}} \mathbf{v} \cdot (\nabla \times \mathbf{c}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a}

この時、左辺の第2項でc\mathbf{c}が定数ベクトルであるため、∇×c=0\nabla \times \mathbf{c} = \mathbf{0}である。したがって、

∫Vc⋅(∇×v)dτ=∮S(v×c)⋅da \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a}

また、スカラー三重積公式と外積の性質により、次が成り立つ。

(v×c)⋅da=(da×v)⋅c=−(v×da)⋅c=−c⋅(v×da) (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} = (d \mathbf{a} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{c} = -( \mathbf{v} \times d \mathbf{a}) \cdot \mathbf{c} = - \mathbf{c} \cdot ( \mathbf{v} \times d \mathbf{a})

これを先の式の右辺に代入すると、

∫Vc⋅(∇×v)dτ= −∮Sc⋅(v×da)  ⟹  c⋅∫V(∇×v)dτ= −c⋅∮Sv×da  ⟹  ∫V(∇×v)dτ= −∮Sv×da \begin{align*} \\ && \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau =&\ - \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{c} \cdot ( \mathbf{v} \times d \mathbf{a}) \\ \implies && \mathbf{c} \cdot \int_{\mathcal{V}} (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau =&\ - \mathbf{c} \cdot \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \times d \mathbf{a} \\ \implies && \int_{\mathcal{V}} (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau =&\ -\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \times d \mathbf{a} \end{align*}

■

(3)

発散定理

∫V(∇⋅v)dτ=∮Sv⋅da \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a}

発散定理にv=T∇U\mathbf{v} = T \nabla Uを代入しよう。

∫V∇⋅(T∇U)dτ=∮S(T∇U)⋅da \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (T \nabla U) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a}

すると、積の法則 ∇⋅(fA)=f(∇⋅A)+A⋅(∇f)\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f)により、左辺は以下のように書き換えられる。

∫V[T∇⋅(∇U)+∇U⋅(∇T)]dτ=∮S(T∇U)⋅da \int_{\mathcal{V}} \left[ T \nabla \cdot (\nabla U) + \nabla U \cdot (\nabla T) \right] d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a}

グラディエントのダイバージェンスはラプラシアン ∇2=∇⋅∇\nabla^{2} = \nabla \cdot \nablaなので、

∫V[T∇2U+(∇T)⋅(∇U)]dτ=∮S(T∇U)⋅da \int_{\mathcal{V}} \left[ T \nabla^{2} U + (\nabla T) \cdot (\nabla U) \right] d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a}

■

(4)

(3)(3)の式は以下のように書ける。

∫V(∇T)⋅(∇U)dτ=∮S(T∇U)⋅da−∫VT∇2Udτ \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) \cdot (\nabla U) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} T \nabla^{2} U d \tau

ここで、TTとUUを入れ替えると、以下のようになる。

∫V(∇U)⋅(∇T)dτ=∮S(U∇T)⋅da−∫VU∇2Tdτ \int_{\mathcal{V}} (\nabla U) \cdot (\nabla T) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (U \nabla T) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} U \nabla^{2} T d \tau

両方の式から差し引くと、以下のようになる。

0=(∮S(T∇U)⋅da−∫VT∇2Udτ)−(∮S(U∇T)⋅da−∫VU∇2Tdτ) 0 = \left( \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} T \nabla^{2} U d \tau \right) - \left( \oint_{\mathcal{S}} (U \nabla T) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} U \nabla^{2} T d \tau \right)

整理すると、

∫V(T∇2U−U∇2T)dτ=∮S(T∇U−U∇T)⋅da \int_{\mathcal{V}} \left( T \nabla^{2} U - U \nabla^{2} T \right) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \left( T \nabla U - U \nabla T \right) \cdot d \mathbf{a}

■

(5)

ストークスの定理

∫S(∇×v)⋅da=∮Pv⋅dl \int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{v} )\cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}

ストークスの定理にv=Tc\mathbf{v} = T \mathbf{c}を代入しよう。

∫S[∇×(Tc)]⋅da=∮P(Tc)⋅dl \int_{\mathcal{S}} \left[ \nabla \times (T \mathbf{c}) \right] \cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l}

すると、積の法則 ∇×(fA)=f(∇×A)−A×(∇f)\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \times (\nabla f)により、左辺は以下のように書ける。

∫ST(∇×c)⋅da−∫S[c×(∇T)]⋅da=∮P(Tc)⋅dl \int_{\mathcal{S}} T (\nabla \times \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{a} - \int_{\mathcal{S}} \left[ \mathbf{c} \times (\nabla T) \right] \cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l}

この時、左辺の第1項でc\mathbf{c}が定数ベクトルであるため、∇×c=0\nabla \times \mathbf{c} = \mathbf{0}である。したがって、

∫S[c×(∇T)]⋅da=−∮P(Tc)⋅dl \int_{\mathcal{S}} \left[ \mathbf{c} \times (\nabla T) \right] \cdot d\mathbf{a} = - \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l}

また、スカラー三重積公式により、次が成り立つ。

(c×∇T)⋅da=(∇T×da)⋅c \left( \mathbf{c} \times \nabla T \right) \cdot d \mathbf{a} = \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) \cdot \mathbf{c}

したがって、

∫S(∇T×da)⋅c=−∮P(Tc)⋅dl  ⟹  c⋅∫S(∇T×da)=−c⋅∮PTdl  ⟹  ∫S(∇T×da)=−∮PTdl \begin{align*} && \int_{\mathcal{S}} \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) \cdot \mathbf{c} = - \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l} \\ \implies && \mathbf{c} \cdot \int_{\mathcal{S}} \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) = - \mathbf{c} \cdot \oint_{\mathcal{P}} T d\mathbf{l} \\ \implies && \int_{\mathcal{S}} \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) = - \oint_{\mathcal{P}} T d\mathbf{l} \end{align*}

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  1. David J. Griffiths, 基礎電磁気学(Introduction to Electrodynamics, 金振成 訳) (第4版, 2014), p62 ↩︎