📂数理物理学

デル演算子を含むベクトル積分の様々な公式

公式¹

$T, U$をスカラー関数、$\mathbf{v}$をベクトル関数としよう。それでは、次の式が成り立つ。

$$ \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} T d \mathbf{a} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau = - \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \times d \mathbf{a} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} \left[ T \nabla^{2} U + (\nabla T) \cdot (\nabla U) \right] d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} \left( T \nabla^{2} U - U \nabla^{2} T \right) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \left( T \nabla U - U \nabla T \right) \cdot d \mathbf{a} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \int_{\mathcal{S}} \nabla T \times d \mathbf{a} = - \oint_{\mathcal{P}} T d \mathbf{l} \end{equation} $$

説明

上の公式を証明するのは、グリフィスの電磁気学 第4版 第1章 61番の練習問題だ。

$(3), (4)$はグリーンの定理とも呼ばれる。

証明

以下の全ての証明で、$\mathbf{c}$は定数ベクトルを意味している。

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(1)

発散定理

$$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} $$

発散定理に$\mathbf{v} = T\mathbf{c}$を代入しよう。

$$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (T\mathbf{c}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} $$

すると、積の法則 $\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f)$により、左辺は以下のように書き換えられる。

$$ \int_{\mathcal{V}} T(\nabla \cdot \mathbf{c}) d \tau + \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla T) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} $$

この時、左辺の第1項で$\mathbf{c}$が定数ベクトルであるため、$\nabla \cdot \mathbf{c}=0$である。したがって、

$$ \begin{align*} \\ && \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla T) d \tau =&\ \oint_{\mathcal{S}} (T \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} \\ \implies && \mathbf{c} \cdot \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) d \tau =&\ \mathbf{c} \cdot \oint_{\mathcal{S}} T d \mathbf{a} \\ \implies && \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) d \tau =&\ \oint_{\mathcal{S}} T d \mathbf{a} \end{align*} $$

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(2)

発散定理

$$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} $$

発散定理に$\mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{c}$を代入しよう。

$$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} $$

すると、積の法則 $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})$により、左辺は以下のように書き換えられる。

$$ \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau - \int_{\mathcal{V}} \mathbf{v} \cdot (\nabla \times \mathbf{c}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} $$

この時、左辺の第2項で$\mathbf{c}$が定数ベクトルであるため、$\nabla \times \mathbf{c} = \mathbf{0}$である。したがって、

$$ \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} $$

また、スカラー三重積公式と外積の性質により、次が成り立つ。

$$ (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} = (d \mathbf{a} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{c} = -( \mathbf{v} \times d \mathbf{a}) \cdot \mathbf{c} = - \mathbf{c} \cdot ( \mathbf{v} \times d \mathbf{a}) $$

これを先の式の右辺に代入すると、

$$ \begin{align*} \\ && \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau =&\ - \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{c} \cdot ( \mathbf{v} \times d \mathbf{a}) \\ \implies && \mathbf{c} \cdot \int_{\mathcal{V}} (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau =&\ - \mathbf{c} \cdot \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \times d \mathbf{a} \\ \implies && \int_{\mathcal{V}} (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau =&\ -\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \times d \mathbf{a} \end{align*} $$

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(3)

発散定理

$$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} $$

発散定理に$\mathbf{v} = T \nabla U$を代入しよう。

$$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (T \nabla U) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} $$

すると、積の法則 $\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f)$により、左辺は以下のように書き換えられる。

$$ \int_{\mathcal{V}} \left[ T \nabla \cdot (\nabla U) + \nabla U \cdot (\nabla T) \right] d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} $$

グラディエントのダイバージェンスはラプラシアン $\nabla^{2} = \nabla \cdot \nabla$なので、

$$ \int_{\mathcal{V}} \left[ T \nabla^{2} U + (\nabla T) \cdot (\nabla U) \right] d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} $$

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(4)

$(3)$の式は以下のように書ける。

$$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) \cdot (\nabla U) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} T \nabla^{2} U d \tau $$

ここで、$T$と$U$を入れ替えると、以下のようになる。

$$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla U) \cdot (\nabla T) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (U \nabla T) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} U \nabla^{2} T d \tau $$

両方の式から差し引くと、以下のようになる。

$$ 0 = \left( \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} T \nabla^{2} U d \tau \right) - \left( \oint_{\mathcal{S}} (U \nabla T) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} U \nabla^{2} T d \tau \right) $$

整理すると、

$$ \int_{\mathcal{V}} \left( T \nabla^{2} U - U \nabla^{2} T \right) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \left( T \nabla U - U \nabla T \right) \cdot d \mathbf{a} $$

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(5)

ストークスの定理

$$ \int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{v} )\cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} $$

ストークスの定理に$\mathbf{v} = T \mathbf{c}$を代入しよう。

$$ \int_{\mathcal{S}} \left[ \nabla \times (T \mathbf{c}) \right] \cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l} $$

すると、積の法則 $\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \times (\nabla f)$により、左辺は以下のように書ける。

$$ \int_{\mathcal{S}} T (\nabla \times \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{a} - \int_{\mathcal{S}} \left[ \mathbf{c} \times (\nabla T) \right] \cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l} $$

この時、左辺の第1項で$\mathbf{c}$が定数ベクトルであるため、$\nabla \times \mathbf{c} = \mathbf{0}$である。したがって、

$$ \int_{\mathcal{S}} \left[ \mathbf{c} \times (\nabla T) \right] \cdot d\mathbf{a} = - \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l} $$

また、スカラー三重積公式により、次が成り立つ。

$$ \left( \mathbf{c} \times \nabla T \right) \cdot d \mathbf{a} = \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) \cdot \mathbf{c} $$

したがって、

$$ \begin{align*} && \int_{\mathcal{S}} \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) \cdot \mathbf{c} = - \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l} \\ \implies && \mathbf{c} \cdot \int_{\mathcal{S}} \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) = - \mathbf{c} \cdot \oint_{\mathcal{P}} T d\mathbf{l} \\ \implies && \int_{\mathcal{S}} \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) = - \oint_{\mathcal{P}} T d\mathbf{l} \end{align*} $$

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