波動方程式
定義1
次の偏微分方程式を波動方程式wave equationと呼ぶ。
$$ u_{tt} - \Delta u =0 $$
この式は、波の伝播速度を定数$1$とする場合である。波の伝播速度を$c$とすると、波動方程式は以下のようになる。
$$ u_{tt} - c^{2}\Delta u =0 $$
非同次nonhomogeneousの場合は、以下のようになる。
$$ u_{tt} - \Delta u = f $$
- $U \subset \mathbb{R}^{n}$は開集合
- $u : \overline{U}\times [0, \infty) \to \mathbb{R}$
- $t>0$
- $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in U$
- $u=u(x, t)=u(x_{1}, \dots, x_{n}, t)$
- $\Delta$はラプラシアン
- $f:U \times [0, \infty) \to \mathbb{R}$
説明
時間に対する2次の微分を位置に関する項に置き換えると、ヘルムホルツ方程式になる。
Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p65-66 ↩︎