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波動方程式 📂偏微分方程式

波動方程式

定義1

次の偏微分方程式波動方程式wave equationと呼ぶ。

$$ u_{tt} - \Delta u =0 $$

この式は、波の伝播速度を定数$1$とする場合である。波の伝播速度を$c$とすると、波動方程式は以下のようになる。

$$ u_{tt} - c^{2}\Delta u =0 $$

非同次nonhomogeneousの場合は、以下のようになる。

$$ u_{tt} - \Delta u = f $$

  • $U \subset \mathbb{R}^{n}$は開集合
  • $u : \overline{U}\times [0, \infty) \to \mathbb{R}$
  • $t>0$
  • $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in U$
  • $u=u(x, t)=u(x_{1}, \dots, x_{n}, t)$
  • $\Delta$はラプラシアン
  • $f:U \times [0, \infty) \to \mathbb{R}$

説明

時間に対する2次の微分を位置に関する項に置き換えると、ヘルムホルツ方程式になる。


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p65-66 ↩︎