logo

波動方程式 📂偏微分方程式

波動方程式

定義1

次の偏微分方程式波動方程式wave equationと呼ぶ。

uttΔu=0 u_{tt} - \Delta u =0

この式は、波の伝播速度を定数11とする場合である。波の伝播速度をccとすると、波動方程式は以下のようになる。

uttc2Δu=0 u_{tt} - c^{2}\Delta u =0

非同次nonhomogeneousの場合は、以下のようになる。

uttΔu=f u_{tt} - \Delta u = f

  • URnU \subset \mathbb{R}^{n}開集合
  • u:U×[0,)Ru : \overline{U}\times [0, \infty) \to \mathbb{R}
  • t>0t>0
  • x=(x1,x2,,xn)Ux = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in U
  • u=u(x,t)=u(x1,,xn,t)u=u(x, t)=u(x_{1}, \dots, x_{n}, t)
  • Δ\Deltaラプラシアン
  • f:U×[0,)Rf:U \times [0, \infty) \to \mathbb{R}

説明

時間に対する2次の微分を位置に関する項に置き換えると、ヘルムホルツ方程式になる。


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p65-66 ↩︎