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境界の滑らかさ 📂偏微分方程式

境界の滑らかさ

定義1

URnU \subset \mathbb{R}^{n}有界開集合としよう。U\partial UUUの境界とする。境界の各点x=(x1,,xn)Ux = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in \partial Uにおいて、以下を満たすCkC^{k}関数γ=Rn1R\gamma = \mathbb{R}^{n-1} \to \mathbb{R}が存在するならば、「境界U\partial UCkC^{k}である」と言う。

γ(x1,x2,,xn1)=xn \gamma (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n-1}) = x_{n}

説明

定義の条件を異なる言い方で表すと、以下の等式を満たすようなCkC^{k}関数γ\gammaが存在することである。xUx \in \partial Uについて、

UB(x,r)={yB(x,r)yn>γ(y1,,yn1)} U \cap B(x,r) = \left\{ y \in B(x,r) \vert y_{n} \gt \gamma (y_{1},\dots,y_{n-1}) \right\}

γ\gammaU\partial U全体に定義しない理由は、以下の図のように、一点で複数の関数値を持つことができるからだ。二次元と三次元については、次のように図で表される。

1.PNG


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (第2版, 2010), p712-713 ↩︎