📂偏微分方程式

境界の滑らかさ

定義¹

$U \subset \mathbb{R}^{n}$を有界な開集合としよう。$\partial U$を$U$の境界とする。境界の各点$x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in \partial U$において、以下を満たす$C^{k}$関数$\gamma = \mathbb{R}^{n-1} \to \mathbb{R}$が存在するならば、「境界$\partial U$が$C^{k}$である」と言う。

$$ \gamma (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n-1}) = x_{n} $$

説明

定義の条件を異なる言い方で表すと、以下の等式を満たすような$C^{k}$関数$\gamma$が存在することである。$x \in \partial U$について、

$$ U \cap B(x,r) = \left\{ y \in B(x,r) \vert y_{n} \gt \gamma (y_{1},\dots,y_{n-1}) \right\} $$

$\gamma$を$\partial U$全体に定義しない理由は、以下の図のように、一点で複数の関数値を持つことができるからだ。二次元と三次元については、次のように図で表される。