境界の滑らかさ
📂偏微分方程式境界の滑らかさ
定義
U⊂Rnを有界な開集合としよう。∂UをUの境界とする。境界の各点x=(x1,…,xn)∈∂Uにおいて、以下を満たすCk関数γ=Rn−1→Rが存在するならば、「境界∂UがCkである」と言う。
γ(x1,x2,…,xn−1)=xn
説明
定義の条件を異なる言い方で表すと、以下の等式を満たすようなCk関数γが存在することである。x∈∂Uについて、
U∩B(x,r)={y∈B(x,r)∣yn>γ(y1,…,yn−1)}
γを∂U全体に定義しない理由は、以下の図のように、一点で複数の関数値を持つことができるからだ。二次元と三次元については、次のように図で表される。
