回転変換, 回転行列
定義
2次元平面 $\mathbb{R}^{2}$で任意の ベクトルを反時計回りに $\theta$だけ回転させる変換は次のとおりである。
$$ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
説明
行列 $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$を 回転行列rotation matrix または 回転変換rotation transformation と呼ぶ。
導出
$x = r \cos \phi$, $y = r \sin \phi$とする。 $(x^{\prime}, y^{\prime})$を点 $(x, y)$を $\theta$だけ回転させたときの点とする。 三角関数の加法定理により $x^{\prime}, y^{\prime}$はそれぞれ次のようになる。
$$ \begin{align*} x^{\prime} &= r \cos(\phi + \theta) \\ &= r\cos\phi \cos\theta - r\sin\phi \sin\theta \\ &= x \cos\theta - y \sin\theta \\ \end{align*} $$
$$ \begin{align*} y^{\prime} &= r \sin(\phi + \theta) \\ &= r\sin\phi \cos\theta + r\cos\phi \sin\theta \\ &= y \cos\theta + x \sin\theta \\ &= x \sin\theta + y \cos\theta \end{align*} $$
$$ \implies \begin{cases} x^{\prime} = x \cos\theta - y \sin\theta \\ y^{\prime} = y \cos\theta + x \sin\theta \end{cases} $$
この連立方程式を行列で表すと次のようになる。
$$ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
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