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回転変換, 回転行列 📂行列代数

回転変換, 回転行列

定義

2次元平面 R2\mathbb{R}^{2}で任意の ベクトルを反時計回りに θ\thetaだけ回転させる変換は次のとおりである。

[x′y′]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][xy] \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

説明

行列 [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}を 回転行列rotation matrix または 回転変換rotation transformation と呼ぶ。

導出

x=rcos⁡ϕx = r \cos \phi, y=rsin⁡ϕy = r \sin \phiとする。 (x′,y′)(x^{\prime}, y^{\prime})を点 (x,y)(x, y)を θ\thetaだけ回転させたときの点とする。 三角関数の加法定理により x′,y′x^{\prime}, y^{\prime}はそれぞれ次のようになる。

x′=rcos⁡(ϕ+θ)=rcos⁡ϕcos⁡θ−rsin⁡ϕsin⁡θ=xcos⁡θ−ysin⁡θ \begin{align*} x^{\prime} &= r \cos(\phi + \theta) \\ &= r\cos\phi \cos\theta - r\sin\phi \sin\theta \\ &= x \cos\theta - y \sin\theta \\ \end{align*}

y′=rsin⁡(ϕ+θ)=rsin⁡ϕcos⁡θ+rcos⁡ϕsin⁡θ=ycos⁡θ+xsin⁡θ=xsin⁡θ+ycos⁡θ \begin{align*} y^{\prime} &= r \sin(\phi + \theta) \\ &= r\sin\phi \cos\theta + r\cos\phi \sin\theta \\ &= y \cos\theta + x \sin\theta \\ &= x \sin\theta + y \cos\theta \end{align*}

  ⟹  {x′=xcos⁡θ−ysin⁡θy′=ycos⁡θ+xsin⁡θ \implies \begin{cases} x^{\prime} = x \cos\theta - y \sin\theta \\ y^{\prime} = y \cos\theta + x \sin\theta \end{cases}

この連立方程式を行列で表すと次のようになる。

[x′y′]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][xy] \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

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