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スカラー場のラプラシアン 📂多変数ベクトル解析

スカラー場のラプラシアン

定義

スカラー関数のu:Rn→Ru : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}のグラジエントのダイバージェンスをラプラシアンLaplacianと呼んで、次のように表記する。

Δu:=div(∇(u))=div((ux1,ux2,…,uxn))=ux1x1+ux2x2+⋯+uxnxn=∑i=1nuxixi \begin{align*} \Delta u :&= \mathrm{div}(\nabla (u)) \\ &= \mathrm{div} \left( \left( u_{x_{1}}, u_{x_{2}}, \dots, u_{x_{n}} \right) \right) \\ &= u_{x_{1}x_{1}} + u_{x_{2}x_{2}} + \cdots + u_{x_{n}x_{n}} \\ &= \sum _{i=1}^{n} u_{x_{i}x_{i}} \end{align*}

ここでuxi=∂u∂xiu_{x_{i}}=\dfrac{\partial u}{\partial x_{i}}である。

説明

数学では、ダイバージェンスをdiv\mathrm{div}と表記することが多いし、ラプラシアンも主にΔ\Deltaと表記される。しかし、物理学では、ダイバージェンスを∇⋅\nabla \cdotと表記するため、ラプラシアンの表記は主に∇2\nabla ^{2}が使われる。

∇⋅(∇(u))=∇2(u)=∇2u \nabla\cdot( \nabla (u))=\nabla^{2}(u) = \nabla^{2}u

D2D^{2}をマルチインデックス記法と呼ぶなら、ヘッセ行列のトレースとも同じである。

Δu=∑i=1nuxixi=tr(D2u) \Delta u = \sum_{i=1}^{n} u_{x_{i} x_{i}} = \mathrm{tr} (D^{2}u)

3次元デカルト座標系

Δf=∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2 \Delta f = \nabla ^{2} f = \frac{ \partial^{2} f}{ \partial x^{2} }+\frac{ \partial^{2} f}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial^{2} f}{ \partial z^{2}}