線形変換のノルム
📂線形代数線形変換のノルム
定義
線形変換T∈L(Rn,Rm)のノルムを以下のように定義する。
∥T∥:=∥x∥=1sup∥T(x)∥
説明
**(a)**を見ると、次の式が成り立つので、∥T∥はTがRnの要素をRmにマッピングする時の大きさが変わる割合であることがわかる。つまり、大きさがどれだけ変わっても∥T∥程度という意味だ。
∥x∥∣T(x)∣≤∥T∥
また、定義により、∥T∥は次を満たすλの中で最小の値であることがわかる。
∥T(x)∥≤λ∥x∥,∀x∈Rn
∥T∥がノルムの定義を満たすことは簡単に確認できる。
- ∥T∥≥0
- ∥T∥=0⟺T=0
- ∥cT∥=∣c∣∥T∥
- ∥T1+T2∥≤∥T1∥+∥T2∥
なのでL(Rn,Rm)の距離を以下のように与えられるので、L(Rn,Rm)は距離空間になる。
d(T1,T2)=∥T1−T2∥,T1,T2∈L(Rn,Rm)
定義 (1)と定理 (a) は必要十分条件だ。
∥T∥:=∥x∥=1sup∥T(x)∥⟹∥T(x)∥≤∥T∥∥x∥,∀x∈Rn
∥T∥:=min{K:∥T(x)∥≤K∥x∥,∀x∈Rn}⟹∥T∥=∥x∥=1sup∥T(x)∥
定理
(a) T∈L(Rn,Rm)なら、次が成り立つ。
∥T(x)∥≤∥T∥∥x∥,∀x∈Rn
(b) T∈L(Rn,Rm)で、∥T∥<∞であり、Tは一様連続だ。
(c) T1∈L(Rn,Rm)で、T2∈L(Rm,Rk)なら、次が成り立つ。
∥T2∘T1∥≤∥T2∥∥T1∥
証明
(a)
x=0とする。すると、Tが線形変換であるので、次が成り立つ。
∥x∥∥T(x)∥=∥x∥1∣T(x)∣=∥x∥1T(x)=T(∥x∥x)
すると、∥x∥x=1なので、∥T∥の定義により、次が成り立つ。
⟹∥x∥∥T(x)∥∥T(x)∥≤∥T∥≤∥T∥∥x∥,∀x∈Rn
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(b)
{e1,…,en}をRnの標準基底とする。すると、∥x∥≤1であるx∈Rnについて、次が成り立つ。
x=∑cieiand∣ci∣≤1
すると、Tが線形変換であるので、次が成り立つ。
∥T(x)∥=T(i=1∑nciei)=i=1∑nciT(ei)≤i=1∑n∣ci∣∥T(ei)∥≤i=1∑n∥T(ei)∥
よって、次を得る。
∥T∥≤i=1∑n∥T(ei)∥<∞
**(a)**によって、x,y∈Rnについて、次が成り立つ。
∣T(x)−T(y)∣≤∥T∥∥x−y∥
ε>0としよう。δ=∥T∥εとする。すると、次が成り立つので、Tは一様連続である。
∥x−y∥<δ⟹∣T(x)−T(y)∣≤∥T∥∥x−y∥=∥T∥∥T∥ε=ε
(c)
**(a)**によって、次が成り立つ。
∥(T2∘T1)(x)∥=∥T2(T1(x))∥≤∥T2∥∣T1(x)∣≤∥T2∥∥T1∥∥x∥
よって、次を得る。
∥T2∘T1∥≤∥T2∥∥T1∥