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線形変換のノルム 📂線形代数

線形変換のノルム

定義1

線形変換TL(Rn,Rm)T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})ノルムを以下のように定義する。

T:=supx=1T(x) \begin{equation} \| T \| := \sup \limits_{| \mathbf{x} | = 1} | T ( \mathbf{x} ) | \end{equation}

説明

**(a)**を見ると、次の式が成り立つので、T\| T \|TTRn\mathbb{R}^{n}の要素をRm\mathbb{R}^{m}にマッピングする時の大きさが変わる割合であることがわかる。つまり、大きさがどれだけ変わってもT\| T \|程度という意味だ。

T(x)xT \dfrac{|T(\mathbf{x})|}{|\mathbf{x}|} \le \| T \|

また、定義により、T\| T \|は次を満たすλ\lambdaの中で最小の値であることがわかる。

T(x)λx,xRn | T (\mathbf{x}) | \le \lambda | \mathbf{x} | , \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}

T\| T \|がノルムの定義を満たすことは簡単に確認できる。

  • T0\| T \| \ge 0
  • T=0    T=0\| T \| = 0 \iff T = 0
  • cT=cT\| c T \| = | c | \| T \|
  • T1+T2T1+T2\| T_{1} + T_{2} \| \le \| T_{1} \| + \| T_{2} \|

なのでL(Rn,Rm)L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})距離を以下のように与えられるのでL(Rn,Rm)L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})距離空間になる。

d(T1,T2)=T1T2,T1,T2L(Rn,Rm) d(T_{1}, T_{2}) = \| T_{1} - T_{2} \|,\quad T_{1},T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})

定義 (1)(1)と定理 (a) は必要十分条件だ。

T:=supx=1T(x)    T(x)Tx,xRn \| T \| := \sup \limits_{| \mathbf{x} | = 1} | T ( \mathbf{x} ) | \implies | T(\mathbf{x}) | \le \| T \| | \mathbf{x} |,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}

T:=min{K:T(x)Kx,xRn}    T=supx=1T(x) \| T \| := \min \left\{ K : | T(\mathbf{x}) | \le K | \mathbf{x} |,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \implies \| T \| = \sup \limits_{| \mathbf{x} | = 1} | T ( \mathbf{x} ) |

定理

  • (a) TL(Rn,Rm)T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})なら、次が成り立つ。 T(x)Tx,xRn | T(\mathbf{x}) | \le \| T \| | \mathbf{x} |,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}

  • (b) TL(Rn,Rm)T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})で、T<\| T \| < \inftyであり、TT一様連続だ。

  • (c) T1L(Rn,Rm)T_{1} \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})で、T2L(Rm,Rk)T_{2} \in L(\mathbb{R}^{m}, \mathbb{R}^{k})なら、次が成り立つ。 T2T1T2T1 \|T_{2}\circ T_{1} \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \|

証明

(a)

x0\mathbf{x} \ne \mathbf{0}とする。すると、TTが線形変換であるので、次が成り立つ。

T(x)x=1xT(x)=1xT(x)=T(xx) \begin{align*} \dfrac{ | T(\mathbf{x}) |}{|\mathbf{x}|} &= \dfrac{1}{|\mathbf{x}|}|T(\mathbf{x})| \\ &= \left| \dfrac{1}{|\mathbf{x}|} T(\mathbf{x}) \right| \\ &= \left| T\left( \dfrac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|} \right) \right| \end{align*}

すると、xx=1\left| \dfrac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|} \right| = 1なので、T\| T \|の定義により、次が成り立つ。

T(x)xT    T(x)Tx,xRn \begin{align*} && \dfrac{ | T(\mathbf{x}) |}{|\mathbf{x}|} &\le \| T \| \\ \implies && | T(\mathbf{x}) | &\le \| T \| |\mathbf{x}|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \end{align*}

(b)

{e1,,en}\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}Rn\mathbb{R}^{n}標準基底とする。すると、x1| \mathbf{x} | \le 1であるxRn\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}について、次が成り立つ。

x=cieiandci1 \mathbf{x} = \sum c_{i}\mathbf{e}_{i} \quad \text{and} \quad |c_{i}| \le 1

すると、TTが線形変換であるので、次が成り立つ。

T(x)=T(i=1nciei)=i=1nciT(ei)i=1nciT(ei)i=1nT(ei) | T (\mathbf{x}) | = \left| T \left( \sum _{i=1}^{n} c_{i} \mathbf{e}_{i} \right) \right| = \left| \sum _{i=1}^{n} c_{i} T \left(\mathbf{e}_{i} \right) \right| \le \sum _{i=1}^{n} | c_{i} | | T (\mathbf{e}_{i}) | \le \sum _{i=1}^{n} | T (\mathbf{e}_{i}) |

よって、次を得る。

Ti=1nT(ei)< \| T \| \le \sum _{i=1}^{n} | T (\mathbf{e}_{i}) | < \infty

**(a)**によって、x,yRn\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}について、次が成り立つ。

T(x)T(y)Txy |T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y})| \le \| T \| | \mathbf{x} - \mathbf{y} |

ε>0\varepsilon > 0としよう。δ=εT\delta = \dfrac{\varepsilon}{\| T \|}とする。すると、次が成り立つので、TTは一様連続である。

xy<δ    T(x)T(y)Txy=TεT=ε | \mathbf{x} - \mathbf{y} | < \delta \implies |T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y})| \le \| T \| | \mathbf{x} - \mathbf{y} | = \| T \| \dfrac{\varepsilon}{\| T \|} = \varepsilon

(c)

**(a)**によって、次が成り立つ。

(T2T1)(x)=T2(T1(x))T2T1(x)T2T1x | (T_{2}\circ T_{1}) (\mathbf{x}) | = | T_{2} (T_{1} (\mathbf{x})) | \le \| T_{2} \| |T_{1} (\mathbf{x}) | \le \| T_{2} \| \|T_{1}\| | \mathbf{x} |

よって、次を得る。

T2T1T2T1 \| T_{2} \circ T_{1} \| \le \| T_{2} \| \|T_{1}\|


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p208 ↩︎