離散フーリエ逆変換
公式1
$\mathbf{a} = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{N-1}) \in \mathbb{C}^{N}$の離散フーリエ変換を$\hat{\mathbf{a}} = (\hat{a}_{0}, \hat{a}_{1}, \dots, \hat{a}_{N-1}) \in \mathbb{C}^{N}$としよう。
$$ \mathcal{F}_{N}(\mathbf{a}) = \hat{\mathbf{a}},\quad \hat{a}_{m}=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-i2\pi mn /N}a_{n} $$
すると、次が成り立つ。
$$ a_{n} = \dfrac{1}{N} \sum \limits_{m=0}^{N-1} e^{i 2 \pi m n / N} \hat{a}_{m} $$
説明
これを離散フーリエ変換の逆変換公式という。
証明
補題
$m = 0, 1, \dots, N-1$に対して、次のようにおく。
$$ \mathbf{e}_{m} = \left( 1, e^{i 2\pi m/N}, e^{i 2\pi 2m/N}, \dots, e^{i 2\pi (N-1)m/N} \right) $$
すると、$\left\{ \mathbf{e}_{m} \right\}_{m=0}^{N-1}$は$\mathbb{C}^{N}$の基底であり、$\left\| \mathbf{e}_{m} \right\|^{2} = N$が成り立つ。
補題により、任意の$\mathbf{a} \in \mathbb{C}^{N}$に対して、次が成り立つ。
$$ \mathbf{a} = \dfrac{1}{N} \sum _{m=0}^{N-1} \left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{m} \right\rangle \mathbf{e}_{m} $$
内積$\left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{m} \right\rangle$を計算すると、離散フーリエ変換の定義によって、次のようになる。
$$ \left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{m} \right\rangle = \sum _{n=0}^{N-1} a_{n}e^{i 2\pi nm/ N} = \hat{a}_{m} $$
これを上の式に代入すると、次を得る。
$$ \mathbf{a} = \dfrac{1}{N} \sum _{m=0}^{N-1} \hat{a}_{m} \mathbf{e}_{m} $$
$$ a_{n} = \dfrac{1}{N} \sum _{m=0}^{N-1} e^{i 2\pi m n / N} \hat{a}_{m} $$
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Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992), p251-252 ↩︎