📂量子力学

ハイゼンベルクの不確定性原理の証明

定理¹

二つの演算子 $A$と$B$について、次が成り立つ。

$$ \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \ge \left( \dfrac{1}{2\i} \braket{[A, B]} \right)^{2} $$

この時、$\sigma_{A}^{2}$は$A$の分散、$[A, B]$は$A$と$B$の交換子だ。

説明

上記の定理から、交換できない二つの演算子に対する物理量は同時に正確に観測することができないという事実が分かる。物理量$B$が正確に観測されるというのは、$\sigma_{B}^{2}$の値が減るということだけど、$[A, B] \ne 0$なら不等式の左辺に最小値が定められていて、これは$\sigma_{B}^{2}$が減ると同時に$\sigma_{A}^{2}$の値が増えること意味する。だから、$B$の物理量を正確に測定すればするほど、$A$の物理量はより不確かになる。

位置と運動量の関係

証明

$\sigma_{A}^{2}$は定義により次のようになる。

$$ \sigma_{A}^{2} = \braket{\psi | (A - \braket{A})^{2} | \psi} = \braket{(A - \braket{A})\psi | (A - \braket{A})\psi} $$

便宜のため、$f = (A - \braket{A})\psi$としよう。

$$ \sigma_{A}^{2} = \braket{f | f} $$

同様に$g = (B - \braket{B})\psi$とすると、

$$ \sigma_{B}^{2} = \braket{g | g} $$

コーシー-シュワルツの不等式により次を得る。

$$ \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} = \braket{f | f} \braket{g | g} \ge \left| \braket{f | g} \right|^{2} $$

また、任意の複素数$z$に対して次が成り立つ。

$$ \left| z \right|^{2} = \Re{z}^{2} + \Im{z}^{2} \le \Im{z}^{2} = \left( \dfrac{1}{2\i} (z - z^{\ast}) \right)^{2} $$

最後の等式は$z = x + \i y$とし、直接計算してみると簡単に分かる。以上の二つの不等式から次を得る。

$$ \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \ge \left| \braket{f | g} \right|^{2} \ge \left( \dfrac{1}{2\i} (\braket{f | g} - \braket{g | f}) \right)^{2} \tag{1} $$

さて、$\braket{f | g}$を計算しよう。

$$ \begin{align*} \braket{f | g} &= \braket{(A - \braket{A})\psi | (B - \braket{B}) | \psi} \\ &= \braket{\psi | (A - \braket{A})(B - \braket{B}) | \psi} \\ &= \braket{\psi | AB - A\braket{B} - \braket{A}B + \braket{A}\braket{B} | \psi} \\ &= \braket{\psi | AB | \psi} - \braket{B}\braket{\psi | A | \psi} - \braket{A}\braket{\psi | B | \psi} + \braket{A}\braket{B} \braket{\psi | \psi} \\ &= \braket{AB} - \braket{B}\braket{A} - \braket{A}\braket{B} + \braket{A}\braket{B} \\ &= \braket{AB} - \braket{A}\braket{B} \end{align*} $$

同様に$\braket{g | f} = \braket{BA} - \braket{A}\braket{B}$が成り立つ。したがって次を得る。

$$ \begin{align*} \braket{f | g} - \braket{g | f} &= (\braket{AB} - \braket{A}\braket{B}) - (\braket{BA} - \braket{A}\braket{B}) \\ &= \braket{AB} - \braket{BA} \\ &= \braket{AB - BA}\\ &= \braket{[A, B]} \end{align*} $$

上の式で3番目の等号が成り立つ理由は、期待値が線形だからだ。この結果を(1)に代入すると次を得る。

$$ \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \ge \left( \dfrac{1}{2\i} \braket{[A, B]} \right)^{2} $$

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参考文献

• フーリエ解析での証明