エルミート演算子の期待値固有値は常に実数であることの証明
定理
証明
$A$をエルミート演算子としよう。$A$の期待値は
$$ \braket{A \rangle = \int \psi^{\ast}A\psi dx = \langle \psi | A\psi} $$
実数であることを示すためには、$\braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}^{\ast}=0$であることを示せば十分だ。
$$\begin{align*} \braket{\psi | A\psi}^{\ast} &= \braket{A\psi | \psi} \\ &= \int (A\psi)^{\ast}\psi dx \\ &= \int \psi^{\ast}A^{\ast}\psi dx \\ &= \int \psi^{\ast} A \psi dx \\ &= \braket{\psi | A \psi} \end{align*}$$
したがって、
$$ \braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}^{\ast}=\braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}=0 $$
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