📂線形代数

線形代数での射影定理

定理¹

$W$が有限次元 内積空間 $V$の部分空間であれば、全ての$\mathbf{u} \in V$は以下の式で一意に表現される。

$$ \begin{equation} \mathbf{u} = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \end{equation} $$

この時、$\mathbf{w}_{1} \in W$であり、$\mathbf{w}_{2} \in W^{\perp}$である。

説明

定理の$\mathbf{w}_{1}$と$\mathbf{w}_{2}$は、それぞれ以下のようにも記される。

$$ \mathbf{w}_{1} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} \quad \text{and} \quad \mathbf{w}_{2} = \mathrm{proj}_{W^{\perp}} \mathbf{u} $$

また、これら$\mathbf{w}_{1}$, $\mathbf{w}_{2}$をそれぞれ $W$への$\mathbf{u}$の正射影、$W^{\perp}$への$\mathbf{u}$の正射影と呼ぶ。$(1)$は次のようにも表せる。

$$ \mathbf{u} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} + \mathrm{proj}_{W^{\perp}} \mathbf{u} $$

$$ \mathbf{u} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} + (\mathbf{u} - \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u}) $$