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線形代数での射影定理 📂線形代数

線形代数での射影定理

定理1

WW有限次元 内積空間 VV部分空間であれば、全てのuV\mathbf{u} \in Vは以下の式で一意に表現される。

u=w1+w2 \begin{equation} \mathbf{u} = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \end{equation}

この時、w1W\mathbf{w}_{1} \in Wであり、w2W\mathbf{w}_{2} \in W^{\perp}である。

説明

定理のw1\mathbf{w}_{1}w2\mathbf{w}_{2}は、それぞれ以下のようにも記される。

w1=projWuandw2=projWu \mathbf{w}_{1} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} \quad \text{and} \quad \mathbf{w}_{2} = \mathrm{proj}_{W^{\perp}} \mathbf{u}

また、これらw1\mathbf{w}_{1}, w2\mathbf{w}_{2}をそれぞれ WWへのu\mathbf{u}の正射影WW^{\perp}へのu\mathbf{u}の正射影と呼ぶ。(1)(1)は次のようにも表せる。

u=projWu+projWu \mathbf{u} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} + \mathrm{proj}_{W^{\perp}} \mathbf{u}

u=projWu+(uprojWu) \mathbf{u} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} + (\mathbf{u} - \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u})


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (第12版, 2019), p366-367 ↩︎