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直交基底に関する座標 📂線形代数

直交基底に関する座標

定義1

内積空間の基底VVが直交集合である場合、SSを直交基底orthogonal basisと言う。SSが正規直交集合である場合、正規直交基底orthonormal basisと言う。

定理

S={v1,v2,…,vn}S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}が内積空間VVの直交基底であり、u∈V\mathbf{u} \in Vとする。すると、次の式が成り立つ。

u=⟨u,v1⟩∥v1∥2v1+⟨u,v2⟩∥v2∥2v2+⋯+⟨u,vn⟩∥vn∥2vn=∑i=1n⟨u,vi⟩∥vi∥2vi \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{u} &= \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle}{\| \mathbf{v}_{1} \|^{2}} \mathbf{v}_{1} + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle}{\| \mathbf{v}_{2} \|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle}{\| \mathbf{v}_{n} \|^{2}} \mathbf{v}_{n} \\ &= \sum \limits _{i=1}^{n} \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle}{\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}} \mathbf{v}_{i} \end{aligned} \label{thm1} \end{equation}

SSが正規直交基底である場合、次の式が成り立つ。

u=⟨u,v1⟩v1+⟨u,v2⟩v2+⋯+⟨u,vn⟩vn=∑i=1n⟨u,vi⟩vi \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{u} &= \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle\mathbf{v}_{1} + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle\mathbf{v}_{2} + \cdots + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle\mathbf{v}_{n} \\ &= \sum \limits _{i=1}^{n} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle \mathbf{v}_{i} \end{aligned} \label{thm2} \end{equation}

説明

上記の定理から、次のベクトルをu∈V\mathbf{u} \in Vの基底SSに対する座標という。

(u)S=(⟨u,v1⟩,⟨u,v2⟩,…,⟨u,vn⟩) (\mathbf{u})_{S} = \left( \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle, \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle, \dots, \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle \right)

証明

SSがVVの基底であるので、u∈V\mathbf{u} \in Vは次のような唯一の線形組み合わせ表現が存在する。

u=c1v1+c2v2+⋯+cnvn \begin{equation} \mathbf{u} = c_{1} \mathbf{v}_{1} + c_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n} \mathbf{v}_{n} \label{eq1} \end{equation}

u\mathbf{u}と各vi\mathbf{v}_{i}の内積を取ると次のようになる。

⟨u,vi⟩=⟨c1v1+c2v2+⋯+cnvn,vi⟩=c1⟨v1,vi⟩+c2⟨v2,vi⟩+⋯ci⟨vi,vi⟩+⋯+cn⟨vn,vi⟩=ci⟨vi,vi⟩=ci∥vi∥2 \begin{align*} \\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle &= \langle c_{1} \mathbf{v}_{1} + c_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n} \mathbf{v}_{n} , \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= c_{1} \langle \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{i} \rangle + c_{2} \langle \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{i} \rangle + \cdots c_{i} \langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle +\cdots + c_{n} \langle \mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= c_{i} \langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= c_{i} \| \mathbf{v}_{i} \|^{2} \end{align*}

  ⟹  ci=⟨u,vi⟩∥vi∥2 \\ \implies c_{i} = \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle }{\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}}

上記の式を満たすcic_{i}は唯一なので、これを(eq1)\eqref{eq1}に代入すると次のようになる。

u=⟨u,v1⟩∥v1∥2v1+⟨u,v2⟩∥v2∥2v2+⋯+⟨u,vn⟩∥vn∥2vn=∑i=1n⟨u,vi⟩∥vi∥2vi \begin{align*} \mathbf{u} &= \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle}{\| \mathbf{v}_{1} \|^{2}} \mathbf{v}_{1} + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle}{\| \mathbf{v}_{2} \|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle}{\| \mathbf{v}_{n} \|^{2}} \mathbf{v}_{n} \\ &= \sum \limits _{i=1}^{n} \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle}{\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}} \mathbf{v}_{i} \end{align*}

SSが正規直交集合であれば∥vi∥2=1\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}=1が成り立つので、(thm2)\eqref{thm2}が成り立つ。

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  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p364 ↩︎