📂量子力学

ディラック記法とは何ですか?

定義

量子力学では波動関数はベクトルであり、基本的に列ベクトルとして扱われる。列ベクトルは右の単一角括弧で表記され、これをケットベクトル^{ket vector}と呼ぶ。

$$\psi = \ket{\psi} = \begin{pmatrix} \psi_{1} \\ \psi_{2} \\ \vdots \\ \psi_{n} \end{pmatrix}$$

$\ket{\psi}$の共役転置行列を左の単一角括弧で表記し、これをブラベクトル^{bra vector}と呼ぶ。

$$\psi^{\ast} = \ket{\psi}^{\ast} = \bra{\psi} = \begin{pmatrix} \psi_{1}^{\ast} & \psi_{2}^{\ast} & \cdots & \psi_{n}^{\ast} \end{pmatrix}$$

$^{\ast}$は共役転置を意味する。

説明

共役転置

物理学では通常$^{\ast}$は複素共役として説明されるが、数学では$^{\ast}$は複素共役と転置行列の両方の意味を持っている。しかし上記の定義から分かるように、物理学においても転置^transposeの意味を持つ表記であることがわかる。つまり、物理学では表記法を重複して使用して、スカラーに付けられていると複素共役を意味し、ベクトルや行列に付けられていると共役転置を意味する。$^{\ast}$を単に複素共役の意味だけで考えると、$\psi$が列ベクトルのときに$\psi^{\ast}$がなぜ行ベクトルなのかがわからなくなるので注意が必要だ。

名前の由来

名前の由来は括弧を意味する英単語ブラケット^bracketだ。括弧を半分ずつ使うので、単語も半分ずつ分けて名前にしたものだ。簡単に言えば、括-ベクトル(bra-vector)とホ-ベクトル(ket-vector)と言うことができる。

内積との関連性

量子力学で演算子と波動関数（固有関数）を便利に演算するために使用される表記法のひとつだ。単一角括弧を使う理由は内積と関連があるからだ。数学では一般化された内積の表記として$\braket{\quad}$を使う。したがって、行ベクトルと列ベクトルを上記のように表記すると、2つのベクトルの積はそのまま内積になるので意味がよく合う。

$$\braket{ \psi \vert \phi } = \begin{pmatrix} \psi_{1}^{\ast} & \psi_{2}^{\ast} & \cdots & \psi_{n}^{\ast} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \vdots \\ \phi_{n} \end{pmatrix} = \psi_{1}^{\ast}\phi_{1} + \psi_{2}^{\ast}\phi_{2} + \cdots + \psi_{n}^{\ast}\phi_{n}$$

任意の演算子$Q$の期待値は次の通りだ。

$$\braket{Q}= \int \psi^{\ast} Q \psi dx$$

これは$\psi$と$Q\psi$の内積と見なすことができ、したがって次のように表記できる。

$$\braket{\psi \vert Q\psi}$$

あるいは、$Q^{\ast}\psi$と$\psi$の内積と考えることもできる。

$$\int \psi^{\ast} Q \psi dx = \int (Q^{\ast}\psi)^{\ast} \psi dx = \braket{Q^{\ast}\psi \vert \psi}$$

以下の表記法はすべて同じ式を意味する。

$$\braket{Q} = \braket{\psi \vert Q \vert \psi} = \braket{\psi \vert Q \psi} = \braket{Q^{\ast}\psi \vert \psi} = \int \psi^{\ast} Q \psi dx$$