📂線形代数

基底の加算／減算定理

定理¹

$S$を ベクトル空間 $V$の空でない部分集合としよう。

(a) もし$S$が線形独立で、$\mathbf{v} \in V$が$\mathbf{v} \notin \text{span}(S)$と等しい場合、$S \cup \left\{ \mathbf{v} \right\}$も引き続き線形独立です。

(b) もし$\mathbf{v} \in S$が$S$の他のベクトルの線形結合で表されるなら、$S$と$S \setminus \left\{ \mathbf{v} \right\}$は同じ空間を生成します。つまり、次が成り立ちます。

$$\text{span}(S) = \text{span} \left( S \setminus \left\{ \mathbf{v} \right\} \right)$$

証明

(a)

$S=\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\} \subset V$が線形独立で、$\mathbf{v} \notin \text{span}(S)$と仮定する。以下の式

$$\begin{equation} k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r} \mathbf{v}_{r} + k \mathbf{v} = \mathbf{0} \label{eq1} \end{equation}$$

を満たす解が$k_{1}=k_{2}=k_{r}=k=0$のみであることを示せば、$S \cup \left\{ \mathbf{v} \right\}$が線形独立であることが証明される。

しかし、もし$k \ne 0$ならば、$k \mathbf{v} = -\sum \limits_{i=1}^{r} k_{i} \mathbf{v}_{i} \in \text{span} (S)$が成り立つ。したがって、$k=0$でなければならず、以下の式を得る。

$$k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r} \mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$$

$S$が線形独立という仮定により、この式を満たす解は$k_{1}=k_{2}=k_{r}=0$のみである。従って、$(1)$の解は$k_{1}=k_{2}=k_{r}=k=0$のみで、$S \cup \left\{ \mathbf{v} \right\}$は線形独立である。

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(b)

$S=\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\} \subset V$であり、$\mathbf{v}_{r}$が以下のように他のベクトルの線形結合で表されると仮定する。

$$\begin{equation} \mathbf{v}_{r} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots +c_{r-1}\mathbf{v}_{r-1} \label{eq2} \end{equation}$$

今、$\mathbf{w} \in \text{span} (S)$とする。生成の定義により、$\mathbf{w}$を以下のように表せる。

$$\mathbf{w} = k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r-1} \mathbf{v}_{r-1} + k_{r} \mathbf{v}_{r}$$

$(2)$を上記の式に代入すると、以下のようになる。

$$\begin{align*} \mathbf{w} &= k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r-1} \mathbf{v}_{r-1} + k_{r} \mathbf{v}_{r} \\ &= k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r-1} \mathbf{v}_{r-1} + k_{r} \left( c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots +c_{r-1}\mathbf{v}_{r-1}\right) \\ &= \left( k_{1} + k_{r}c_{1} \right)\mathbf{v}_{1} + \left( k_{2} + k_{r}c_{2} \right) \mathbf{v}_{2} + \cdots + \left( k_{r-1} + k_{r}c_{r-1} \right) \mathbf{v}_{r-1} \end{align*}$$

従って、$\mathbf{w} \in \text{span} (S \setminus \left\{ \mathbf{v} \right\})$が成り立つ。逆も同じ論理で成り立つので、二つの集合は同一である。

$$\text{span}(S) = \text{span} \left( S \setminus \left\{ \mathbf{v} \right\} \right)$$

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