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直交行列の同値条件 📂行列代数

直交行列の同値条件

定理

実数行列AAについて、以下の命題は全て同値である。

(a) AA直交行列である。

(b) AAの行ベクトルの集合はRn\mathbb{R}^n正規直交集合である。

(c) AAの列ベクトルの集合はRn\mathbb{R}^nの正規直交集合である。

(d) AA内積を保つ。つまり、全てのx,yRn\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}に対して以下が成り立つ。

(Ax)(Ay)=xy (A \mathbf{x}) \cdot (A\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}

(e) AA長さを保つ。つまり、全てのxRn\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}に対して以下が成り立つ。

Ax=x \left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\|

証明

(a)    \iff(b)(a)    \iff**(c)**は証明方法が同じなので、後者は省略する。

(a)     \iff (b)

AAn×nn\times n行列とし、AAの行ベクトルをri\mathbf{r}_{i}と表す。

A=[r1r2rn] A = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix}

するとAATA A^{T}は以下のようになる。

AAT=[r1r2rn][r1Tr2TrnT]=[r1r1r1r2r1rnr2r1r2r2r2rnrnr1rnr2rnrn] AA^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1}^{T} & \mathbf{r}_{2}^{T} & \cdots & \mathbf{r}_{n}^{T} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix}

  • (a)     \implies (b)

 AAが直交行列だと仮定する。するとAAT=IAA^{T}=Iであり、以下の式を得る。

 rirj={1,i=j0,ij \mathbf{r}_{i} \cdot \mathbf{r}_{j} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases}

 したがって、AAの行ベクトルの集合{ri}\left\{ \mathbf{r}_{i} \right\}は正規直交集合である。

  • (a) \Longleftarrow (b)

 {ri}\left\{ \mathbf{r}_{i} \right\}が正規直交集合であるとする。すると

 rirj={1,i=j0,ij \mathbf{r}_{i} \cdot \mathbf{r}_{j} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases}

 であり、

 AAT=[r1r1r1r2r1rnr2r1r2r2r2rnrnr1rnr2rnrn]=[100010001]=I AA^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} =I

(a)     \iff (d)     \iff (e)

  • (a)     \implies (d)

 AAが直交行列であり、x\mathbf{x}yRn\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}であるとする。すると、転置行列の性質と仮定により、以下の式が成り立つ。

 (Ax)(Ay)=(Ax)T(Ay)=xTATAy=xTy=xy \begin{align*} \left( A \mathbf{x} \right) \cdot \left( A \mathbf{y} \right) &= \left( A \mathbf{x} \right)^{T} \left( A \mathbf{y} \right) \\ &= \mathbf{x}^{T} A^{T} A \mathbf{y} \\ &= \mathbf{x}^{T} \mathbf{y} \\ &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \end{align*}

  • (d)     \implies (e)

 AAが内積を保つと仮定する。すると、以下の式が仮定により成り立つ。

 Ax=(Ax)(Ax)=xx=x \begin{align*} \left\| A \mathbf{x} \right\| &= \sqrt{(A \mathbf{x}) \cdot (A \mathbf{x})} \\ &= \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}} \\ &= \left\| \mathbf{x} \right\| \end{align*}

  • (e)     \implies (a)

 Ax=x\left\| A \mathbf{x} \right\| =\left\| \mathbf{x}\right\|が成り立つと仮定する。すると、以下の式が真である。

 Ax=x    Ax2=x2    AxAx=xx \begin{align*} && \left\| A \mathbf{x} \right\| &= \left\| \mathbf{x}\right\| \\ \implies && \left\| A \mathbf{x} \right\|^{2} &= \left\| \mathbf{x}\right\|^{2} \\ \implies && A \mathbf{x} \cdot A \mathbf{x} &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \end{align*}

 内積の性質Auv=uATvA \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot A^{T} \mathbf{v}により、上記の式は以下のようになる。

 AxAx=xATAx=xx A \mathbf{x} \cdot A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot A^{T} A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}

 これを整理すると、以下のようになる。

 x(ATAxx)=0 \mathbf{x} \cdot \left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x}\right) = 0

 この式は全てのx\mathbf{x}に対して成り立たなければならないので、(ATAxx)=0\left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x}\right) = 0である。したがって、

 (ATAxx)=0    (ATAI)x=0 \begin{align*} && \left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x} \right) &= 0 \\ \implies && \left( A^{T}A -I\right) \mathbf{x} &= 0 \end{align*}

 この式も全てのx\mathbf{x}に対して満足しなければならないので、以下の式を得る。

 ATAI=0    ATA=I A^{T}A-I = 0 \implies A^{T}A=I

 したがって、AAは直交行列である。