直交行列の同値条件
📂行列代数直交行列の同値条件
定理
実数行列Aについて、以下の命題は全て同値である。
(a) Aが直交行列である。
(b) Aの行ベクトルの集合はRnの正規直交集合である。
(c) Aの列ベクトルの集合はRnの正規直交集合である。
(d) Aが内積を保つ。つまり、全てのx,y∈Rnに対して以下が成り立つ。
(Ax)⋅(Ay)=x⋅y
(e) Aが長さを保つ。つまり、全てのx∈Rnに対して以下が成り立つ。
∥Ax∥=∥x∥
証明
(a)⟺(b)と(a)⟺**(c)**は証明方法が同じなので、後者は省略する。
(a) ⟺ (b)
Aをn×n行列とし、Aの行ベクトルをriと表す。
A=r1r2⋮rn
するとAATは以下のようになる。
AAT=r1r2⋮rn[r1Tr2T⋯rnT]=r1⋅r1r2⋅r1⋮rn⋅r1r1⋅r2r2⋅r2⋮rn⋅r2⋯⋯⋱⋯r1⋅rnr2⋅rn⋮rn⋅rn
Aが直交行列だと仮定する。するとAAT=Iであり、以下の式を得る。
ri⋅rj={1,0,i=ji=j
したがって、Aの行ベクトルの集合{ri}は正規直交集合である。
{ri}が正規直交集合であるとする。すると
ri⋅rj={1,0,i=ji=j
であり、
AAT=r1⋅r1r2⋅r1⋮rn⋅r1r1⋅r2r2⋅r2⋮rn⋅r2⋯⋯⋱⋯r1⋅rnr2⋅rn⋮rn⋅rn=10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1=I
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(a) ⟺ (d) ⟺ (e)
Aが直交行列であり、x、y∈Rnであるとする。すると、転置行列の性質と仮定により、以下の式が成り立つ。
(Ax)⋅(Ay)=(Ax)T(Ay)=xTATAy=xTy=x⋅y
Aが内積を保つと仮定する。すると、以下の式が仮定により成り立つ。
∥Ax∥=(Ax)⋅(Ax)=x⋅x=∥x∥
∥Ax∥=∥x∥が成り立つと仮定する。すると、以下の式が真である。
⟹⟹∥Ax∥∥Ax∥2Ax⋅Ax=∥x∥=∥x∥2=x⋅x
内積の性質Au⋅v=u⋅ATvにより、上記の式は以下のようになる。
Ax⋅Ax=x⋅ATAx=x⋅x
これを整理すると、以下のようになる。
x⋅(ATAx−x)=0
この式は全てのxに対して成り立たなければならないので、(ATAx−x)=0である。したがって、
⟹(ATAx−x)(ATA−I)x=0=0
この式も全てのxに対して満足しなければならないので、以下の式を得る。
ATA−I=0⟹ATA=I
したがって、Aは直交行列である。
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