直交行列の同値条件
定理
実数行列$A$について、以下の命題は全て同値である。
(a) $A$が直交行列である。
(b) $A$の行ベクトルの集合は$\mathbb{R}^n$の正規直交集合である。
(c) $A$の列ベクトルの集合は$\mathbb{R}^n$の正規直交集合である。
(d) $A$が内積を保つ。つまり、全ての$\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$に対して以下が成り立つ。
$$ (A \mathbf{x}) \cdot (A\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} $$
(e) $A$が長さを保つ。つまり、全ての$\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}$に対して以下が成り立つ。
$$ \left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\| $$
証明
(a)$\iff$(b)と(a)$\iff$**(c)**は証明方法が同じなので、後者は省略する。
(a) $\iff$ (b)
$A$を$n\times n$行列とし、$A$の行ベクトルを$\mathbf{r}_{i}$と表す。
$$ A = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} $$
すると$A A^{T}$は以下のようになる。
$$ AA^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1}^{T} & \mathbf{r}_{2}^{T} & \cdots & \mathbf{r}_{n}^{T} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} $$
- (a) $\implies$ (b)
$A$が直交行列だと仮定する。すると$AA^{T}=I$であり、以下の式を得る。
$$ \mathbf{r}_{i} \cdot \mathbf{r}_{j} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases} $$
したがって、$A$の行ベクトルの集合$\left\{ \mathbf{r}_{i} \right\}$は正規直交集合である。
- (a) $\Longleftarrow$ (b)
$\left\{ \mathbf{r}_{i} \right\}$が正規直交集合であるとする。すると
$$ \mathbf{r}_{i} \cdot \mathbf{r}_{j} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases} $$
であり、
$$ AA^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} =I $$
■
(a) $\iff$ (d) $\iff$ (e)
- (a) $\implies$ (d)
$A$が直交行列であり、$\mathbf{x}$、$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$であるとする。すると、転置行列の性質と仮定により、以下の式が成り立つ。
$$ \begin{align*} \left( A \mathbf{x} \right) \cdot \left( A \mathbf{y} \right) &= \left( A \mathbf{x} \right)^{T} \left( A \mathbf{y} \right) \\ &= \mathbf{x}^{T} A^{T} A \mathbf{y} \\ &= \mathbf{x}^{T} \mathbf{y} \\ &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \end{align*} $$
- (d) $\implies$ (e)
$A$が内積を保つと仮定する。すると、以下の式が仮定により成り立つ。
$$ \begin{align*} \left\| A \mathbf{x} \right\| &= \sqrt{(A \mathbf{x}) \cdot (A \mathbf{x})} \\ &= \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}} \\ &= \left\| \mathbf{x} \right\| \end{align*} $$
- (e) $\implies$ (a)
$\left\| A \mathbf{x} \right\| =\left\| \mathbf{x}\right\|$が成り立つと仮定する。すると、以下の式が真である。
$$ \begin{align*} && \left\| A \mathbf{x} \right\| &= \left\| \mathbf{x}\right\| \\ \implies && \left\| A \mathbf{x} \right\|^{2} &= \left\| \mathbf{x}\right\|^{2} \\ \implies && A \mathbf{x} \cdot A \mathbf{x} &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \end{align*} $$
内積の性質$A \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot A^{T} \mathbf{v}$により、上記の式は以下のようになる。
$$ A \mathbf{x} \cdot A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot A^{T} A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} $$
これを整理すると、以下のようになる。
$$ \mathbf{x} \cdot \left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x}\right) = 0 $$
この式は全ての$\mathbf{x}$に対して成り立たなければならないので、$\left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x}\right) = 0$である。したがって、
$$ \begin{align*} && \left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x} \right) &= 0 \\ \implies && \left( A^{T}A -I\right) \mathbf{x} &= 0 \end{align*} $$
この式も全ての$\mathbf{x}$に対して満足しなければならないので、以下の式を得る。
$$ A^{T}A-I = 0 \implies A^{T}A=I $$
したがって、$A$は直交行列である。
■