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ローラン級数とは?

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テイラーの定理は、微分の回数に関して平均値の定理を一般化したものだ。もともと$1$回微分されたものを扱っていたが、それを$n \in \mathbb{N}$回に拡張したんだ。でも、自然数に一般化できたら、整数全体にもできないかな？もちろん、$-n$回微分することはできないけど、微分と逆操作の関係にある積分を考えたらどうだろう？以下のローランの定理を証明なしで紹介する。

$f: A \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$の特異点$\alpha$を中心とする二つの同心円$\mathscr{C}_{1}: |z-\alpha| = r_{1}$と$\mathscr{C}_{2}: |z-\alpha| = r_{2}$$(r_{2} < r_{1})$上で$f$が解析的だとしよう。すると、二つの同心円の間にあるすべての点に対して、$f$は$\displaystyle f(z) = \sum_{n = 0 }^{\infty} a_{n} (z-\alpha) ^{n} + \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{n} } \over{ (z-\alpha) ^{n} } }$で表すことができる。

• $\displaystyle a_{n} = {{1} \over {2 \pi i}} \int_{\mathscr{C}_{1}} {{f(z)} \over {(z - \alpha)^{ 1 + n} }} dz \qquad , n = 0,1,2, \cdots$
• $\displaystyle b_{n} = {{1} \over {2 \pi i}} \int_{\mathscr{C}_{2}} {{f(z)} \over {(z - \alpha)^{ 1 - n} }} dz \qquad , n=1,2,3,\cdots$

定義

以下の級数をローラン級数と呼ぶ。 $$f(z) = \sum_{n = 0 }^{\infty} a_{n} (z-\alpha) ^{n} + \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{n} } \over{ (z-\alpha) ^{n} } }$$

説明

微分に対するコーシーの積分公式の一般化：関数$f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が単連結領域$\mathscr{R}$で解析的だとする。

$\mathscr{R}$内部の単純閉路$\mathscr{C}$がある点$\alpha$を囲んでいるなら、自然数$n$に対して

$${{f^{(n)} (\alpha) } \over {n!}} = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - \alpha)^{1+n} }} dz$$

コーシーの積分公式を使うと、テイラーの定理の一般化という側面がよりはっきりとするだろう。

$$f(z) = \sum_{n = 0 }^{\infty} {{f^{(n)} (\alpha) } \over {n!}} (z-\alpha) ^{n} + \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{n} } \over{ (z-\alpha) ^{n} } }$$ このような級数形式で、$\displaystyle \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{n} } \over{ (z-\alpha) ^{n} } }$を主要部と呼ぶ。特に$\displaystyle {{1} \over {z-\alpha}}$の係数、すなわち$b_{1}$は、$\alpha$での$f$の留数と定義され、$b_{1} = \text{Res}_{\alpha} f(z)$のように表される¹。