📂行列代数

正規行列の定義

定義

正方行列 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ が次を満たすとき、正規行列^{normal matrix}という。 $$A A^{\ast} = A^{\ast} A$$ ここで $X^{\ast}$ は行列 $X$ の共役転置行列である。

性質

$A$ が正方行列であるとする。三角行列 $A$ が正規行列であるための必要十分条件は、$A$ が対角行列であることである: $$A A^{\ast} = A^{\ast} A \iff \left( A \right)_{ij} = 0 , \forall i \ne j$$

証明 ¹

• $O_{n}$ は $\left( n \times n \right)$ サイズの零行列である。下付き添字が省略された場合は、行列の内部のサイズに合わせる。
• $\bar{z}$ は複素数 $z$ の共役複素数である。

$(\implies)$

数学的帰納法を用いて証明する。一般性を失わずに、$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ が上三角行列の場合だけを考える。

$n = 1$ であれば自明に成立し、$n = 2$ であれば上三角行列 $$A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}$$ に対して $$\begin{align*} & O_{2} \\ =& A A^{\ast} - A^{\ast} A \\ =& \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{a} & 0 \\ \bar{b} & \bar{c} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \bar{a} & 0 \\ \bar{b} & \bar{c} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |a|^{2} + |b|^{2} & bc \\ c \bar{b} & |c|^{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} |a|^{2} & \bar{a} b \\ a \bar{b} & |b|^{2} + |c|^{2} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |b|^{2} & b \left( c - \bar{a} \right) \\ \bar{b} \left( c - a \right) & - |b|^{2} \end{bmatrix} \end{align*}$$ であるので $b = 0$ でなければならない。言い換えれば、$A$ は対角行列である。ここで $$A A^{\ast} = A^{\ast} A \implies \left( A \right)_{ij} = 0 , \forall i \ne j$$ が $A \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}$ に対して成り立つと仮定する。二つの行列 $B \in \mathbb{R}^{1 \times (n-1)}$ と $C \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}$ を用いてブロック行列で表した $$A = \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix}$$ に対して $$\begin{align*} & O_{n} \\ =& A A^{\ast} - A^{\ast} A \\ =& \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{a} & O \\ B^{\ast} & C^{\ast} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \bar{a} & O \\ B^{\ast} & C^{\ast} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |a|^{2} + B B^{\ast} & B C \\ C B^{\ast} & C C^{\ast} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} |a|^{2} & \bar{a} B \\ a B^{\ast} & B^{\ast} B + C^{\ast} C \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} B B^{\ast} & B C - \bar{a} B \\ C B^{\ast} - a B^{\ast} & C C^{\ast} - C^{\ast} C - B^{\ast} B \end{bmatrix} \end{align*}$$ であり、$B B^{\ast} = \sum_{k=1}^{n-1} \left( B_{1k} \right)^{2} \in \mathbb{C}^{1 \times 1}$ が $0$ であるということは、$B$ のすべての成分が $0$ であるということを意味する。一方、$C C^{\ast} - C^{\ast} C = O_{n-1}$ もまた成立しなければならないため、$C$ は正規行列であり、したがって $C$ もまた対角行列でなければならない。結論として次のように定義された行列 $A$ は対角行列である。 $$A = \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & O^{\ast} \\ O & C \end{bmatrix}$$

$(\impliedby)$

$A$ が対角行列である場合、$k = 1 , \cdots , n$ に対して次が自明に成立する。 $$\left( A A^{\ast} \right)_{kk} = \left( A \right)_{kk}^{2} = \left( A^{\ast} A \right)_{kk}$$

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