📂確率微分方程式

動的ノイズの定義

定義 ¹

力学系、特に微分方程式で表現されるシステムにおいて、決定論的なシステム$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right)$が与えられているとする。右辺に確率ベクトル$\mathbf{w}(t)$が加わると、このシステムは非決定論的な確率過程になり、このときの$\mathbf{w}(t)$を動的ノイズ^{dynamical noise}と呼ぶ。

説明

$$ \begin{align*} {{dx} \over {dt}} =& - \sigma x + \sigma y + w_{x} (t) \\ {{dy} \over {dt}} =& - xz + \rho x - y + w_{y} (t) \\ {{dz} \over {dt}} =& xy - \beta z + w_{z} (t) \end{align*} $$ 例えばローレンツアトラクターに動的ノイズが追加されたシステムは上のように表すことができる。

研究をする立場から見て、トラジェクトリー$\mathbf{x} (t)$に一括してホワイトノイズを追加することとの最も明確な違いは、ソルバーを使うときにノイズがその都度加えられるという点である。文字通り変化量そのものがノイズとして作用したので、その結果は連続であるが、元の支配方程式からは遠ざかる。