📂流体力学

ダルシー・ブリンクマン・フォルヒハイマー方程式の導出

定理 ¹

多孔質媒質で流体の運動を記述する。 $$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 特に、3次元空間で時点 $t$ と空間座標 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ の速度場を上のような速度ベクトルで表すとする。同様に、$p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ は各座標で作用する圧力 $p = p \left( \mathbf{x} \right)$ を表す。$\mathbf{u}$ が非圧縮性のニュートン流体の速度であれば、次の支配方程式に従う。 $$ \rho \left[ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} \right] = - \nabla p + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} - {\frac{ \mu }{ k }} \mathbf{u} - \beta \rho |u| u + \rho \mathbf{g} $$ ここで $\rho$ は密度、$\nabla \cdot$ は発散、$\mu$ は粘性係数、$k$ は透過性、$\beta$ は経験的定数^{empirical constant}、$\mathbf{g}$ は重力加速度である。

説明

ナビエ–ストークス方程式: $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - \nabla w + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} + \mathbf{g} $$

ダルシー–ブリンクマン–フォルヒハイマー方程式^{Darcy-Brinkman-Forchheimer equation}はナビエ–ストークス方程式に類似するが、多孔質媒質が反映されたときの支配方程式である。

導出

この導出過程はまったく厳密ではない。いずれにせよフォルヒハイマー項が追加されるとき経験則が適用されるため、単にこういう感じだと受け取ればよい。

オイラーの方程式: $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$

最も単純なオイラー方程式から始める。ここで右辺にいくつかの項が追加されるが、流体自体の圧力ではなく多孔質媒質に対する圧力 $p '$ を考える。 $$ \rho \left[ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} \right] = - \nabla p + \nabla p ' + \rho \mathbf{g} $$ 当然だが $\nabla p$ と $\nabla p '$ は次元が等しいので右辺に加えられることは次元解析の観点から自然である。これからはこの $\nabla p '$ がどのように現れるかだけに注意する。

ダルシー項

ダルシーの法則: $$ Q = \frac{k A}{\mu L} \Delta p $$

長さ $L$ に対して $\Delta p ' = p ' \left( \mathbf{x} \right) - p ' \left( \mathbf{x} + L \right)$ である。$L$ はベクトルではないので $\mathbf{x} + L$ のような表現が意味をなさないことは分かっているが、先述したとおり厳密である必要はないので先に進める。これを $p '$ について整理すると次のようになる。 $$ {\frac{ p ' \left( \mathbf{x} + L \right) - p ' \left( \mathbf{x} \right) }{ L }} = - {\frac{ \mu }{ k }} {\frac{ Q }{ A }} $$

流量の連続方程式: $$ Q = A_{1} U_{1} = A_{2} U_{2} $$

左辺には $L \to \infty$ を取り、右辺では速度 $\mathbf{u}$ が流量と断面積の比で表されるので次のように表せる。 $$ \nabla p ' = - {\frac{ \mu }{ k }} \mathbf{u} $$

ブリンクマン項 ²

本質的にはナビエ–ストークス方程式に粘性項が追加されるのと同じである。$\nabla p '$ は次のようにブリンクマン項 $\mu \nabla^{2} \mathbf{u}$ を加えて表すことができる。 $$ \nabla p ' = - {\frac{ \mu }{ k }} \mathbf{u} + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} $$

フォルヒハイマー項

慣性効果を反映するための経験則である。右辺に速度の二乗に比例する項、フォルヒハイマー項 $- \beta \rho |u| u$ が追加される。 $$ \nabla p ' = - {\frac{ \mu }{ k }} \mathbf{u} + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} - \beta \rho |u| u $$

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