ストークスの法則、抗力、終端速度
法則
ストークスの法則
速度が $v$ で半径が $r$ の 球形 粒子が 動粘性係数 $\mu$ の 流体 中を動き、粘性によって受ける 抗力drag force $F$ は次のとおりである。 $$ F = - 6 \pi \mu r v $$ これを ストークスの法則Stokes’ lawという。
終端速度
流体中で粒子が落下するときの 終端速度terminal velocity $v_{\infty}$ は次のとおりである。 $$ v_{\infty} = {\frac{ 2 r^{2} g \left( \rho - \rho_{f} \right) }{ 9 \mu }} $$ ここで $\rho$ は粒子の 密度、 $\rho_{f}$ は流体の密度、 $g$ は 重力加速度 である。
説明
ストークスの法則は レイノルズ数 が小さく層流を成し、表面が滑らかであるという仮定の下で成立する。
一見して終端速度の式は定数が多く奇妙に見えるかもしれないが、導出過程を見れば特にそうでもない。
導出
終端速度では粒子はもはや加速しない。ニュートンの運動法則から $F = m a$ であり、粒子の質量は球の体積である $\frac{4}{3} \pi r^{3}$ に密度 $\rho$ を掛けたものであるから、重力による力 $F_{g}$ は次のようになる。 $$ F_{g} = m g = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g $$ これに逆らって働く浮力 $F_{f}$ は次のとおりである。 $$ F_{f} = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho_{f} g $$ 粒子が加速しないということは、これらの合力net forceが抗力と釣り合っているということであり、数式では次のようになる。 $$ \begin{align*} F_{g} - F_{f} =& - F \\ \implies \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g - \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho_{f} g =& 6 \pi \mu r v \end{align*} $$ これを $v$ について整理すると終端速度の式が得られる。 $$ v = {\frac{ 2 r^{2} g \left( \rho - \rho_{f} \right) }{ 9 \mu }} $$
■