📂統計的分析

偏微分方程式のためのCINDy: PDE-FIND

アルゴリズム ¹

SINDy アルゴリズム: 状態空間が $\mathbb{R}^{n}$ の 力学系 が次のような スムーズ関数 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ によって与えられるとする。 $$ \dot{\mathbf{x}} = f \left( \mathbf{x} \right) $$ $X$ の 独立変数たちに何らかの 非線形関数を取って得られる派生変数 によって作った 行列 $\Theta \left( X \right) \in \mathbb{R}^{m \times p}$ と次の 行列方程式 に STLSQ を適用して 支配方程式^{governing equation} を見つけるアルゴリズムを SINDy^SINDy と呼ぶ。 $$ \dot{X} = \Theta \left( X \right) \Xi $$

SINDy の変形として、偏微分方程式 を復元するためのアルゴリズムを PDE-FIND と呼ぶ。

説明

PDE-FIND の FIND は Functional Identification of Nonlinear Dynamical Systems の頭文字を取ったもので、事実上理工系でよく見かける四行詩のようなものだ。そもそも SINDy も四行詩だった。

アルゴリズムの核心的なアイデアは SINDy を適用するが、右辺に空間に関する偏微分項を追加することだ。$u u_{x}$ のような非線形項が入ると物質微分のようなものも反映でき、ナビエ–ストークス方程式のような複雑な流体力学モデルも復元できる。

ドメインがあまりに大きい場合は全ての座標を参照せず一部の点だけを使うこともできる。根本的に 支配方程式 が一つであればどの点でも同じ方程式に従うため全く問題にならない。

$$ u_{t} = N \left( u, u_{x}, u_{xx}, \cdots , x, t, \mu \right) $$ データ駆動モデル^{data-driven model} に慣れている立場から PDE-FIND を紹介した論文が有用な理由は、上述のような形で最小二乗問題を立てることは分かるが具体的に行列の形を示してくれるからだ。著者らは補足資料^{suplementary material} で次のように式の構成を明示的に示している。

根本的に PDE-FIND は SINDy と違いはない。ただし実際に使うにあたっては常微分方程式のソルバーではなく偏微分方程式のソルバーを使わなければならないという点だけが異なる。