📂流体力学

ハーゲン–ポアズイユの法則の証明

法則 ¹

定義

非圧縮性のニュートン流体が管の直径が $D = 2R$ に一定なパイプを通って流れるとき、管の軸と垂直な方向で管の中心からの距離を $r$ とする。管壁($r = R$)では流速が $\mathbf{0}$ になり管の中心($r = 0$)では流速が最大になり、その流速分布が $r$ に従う放物線を描く流れを ハーゲン＝ポアズイユ流^{Hagen-Poiseuille flow}という。

定理

この流れで管の中心から距離 $r$ における流速 $u(r)$ は次のようになる。 $$ u = - {\frac{ 1 }{ 4 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \left( R^{2} - r^{2} \right) $$ ここで $\mu$ は動粘性係数、$p$ は圧力である。管を通る流量 $Q$ は次の通りで、これを ハーゲン＝ポアズイユの法則^{Hagen-Poiseuille law}という。 $$ Q = - {\frac{ \pi R^{4} }{ 8 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} $$

説明

簡単に言えば、上図のように右向きに流れる流れで、左のように管壁に近くても同じ速度分布を持つなら理想流体であり、右のように管壁に近づくほど速度が徐々に遅くなる分布を持つとハーゲン＝ポアズイユ流という。

証明

過程全般で符号が紛らわしくなることがあるが、簡単に考えて力が微小円柱の内側に作用するには符号がどうならなければならないかだけ気にすればよい。符号について逐一説明はしない。

長さが $l$ で半径が $r$ の微小円柱を考える。$x$ の方向に流れが生じるとき、左側からこの円柱に作用する赤色の圧力を $p_{1}$ とすると、右側から作用する青色の圧力は $l$ だけ進んでいるので $- \left( p_{1} + {\frac{ d p }{ d x }} l \right)$ になる。一方、円柱の側面には黄色で示したせん断応力が作用するので、応力 $\tau$ と円柱の側面積 $2 \pi r l$ の積になる。円柱の上下の面積は共に $\pi r^{2}$ であり、力の釣り合い式は次のとおりだ。 $$ {\color{red} p_{1} \pi r^{2}} - {\color{blue} \left( p_{1} + {\frac{ d p }{ d x }} l \right) \pi r^{2}} - {\color{orange} \tau 2\pi r l} = 0 $$ いくつかの項を相殺して $\pi r l$ で両辺を割ると次のようになる。 $$ \ - {\frac{ d p }{ d x }} r - 2 \tau = 0 $$

ニュートンの粘性法則: $$ \tau = \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

ニュートンの粘性法則は $x$ 方向のみを考えた1次元形だとすると $\tau = - \mu du / dr$ であるので、次の微分方程式を得る。 $$ {\frac{ d u }{ d r }} = {\frac{ 1 }{ 2 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} r $$ 両辺を $r$ について積分すると、積分定数 $C$ について次を得る。 $$ u = {\frac{ 1 }{ 4 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} r^{2} + C $$ ハーゲン＝ポアズイユ流の定義に従い管壁($r = R$)では流速が $0$ でなければならないので、$r = R$ を代入すると次を得る。 $$ C = - {\frac{ 1 }{ 4 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} R^{2} $$ 積分定数が求まったのでこれを再び流速式に代入すると次の関係を得る。 $$ u = - {\frac{ 1 }{ 4 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \left( R^{2} - r^{2} \right) $$

微小円柱の中心から $r$ 離れ、幅が $dr$ の微小環 $S$ の面積が $dA$ で、流速が $u$ で一定だとすると微小流量は $d Q = u d A$ で、流量は次の面積分によって求められる。 $$ Q = \int_{S} d Q = \int_{S} u d A $$ 環の面積は $dA = 2 \pi r dr$ なので、流量式は次のとおりだ。 $$ \begin{align*} Q =& \int_{0}^{R} - {\frac{ 1 }{ 4 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \left( R^{2} - r^{2} \right) 2 \pi r dr \\ =& - {\frac{ \pi }{ 2 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \int_{0}^{R} \left( R^{2} r - r^{3} \right) dr \\ =& - {\frac{ \pi }{ 2 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \left[ {\frac{ R^{4} }{ 2 }} - {\frac{ R^{4} }{ 4 }} \right] \\ =& - {\frac{ \pi R^{4} }{ 8 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \end{align*} $$

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