流体力学におけるオイラー方程式の導出
定理
$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 特に、3次元空間で視点 $t$ と空間座標 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ の速度場を上と同じ速度ベクトルで表すとする。それと類似して、 $p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ は各座標で作用する圧力 $p = p \left( \mathbf{x} \right)$ を表す。$\mathbf{u}$ が非粘性かつ非圧縮性な流体の速度であれば、次の支配方程式に従う。 $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$ ここで $\nabla \cdot$ は発散、 $\rho$ は密度、 $\mathbf{g}$ は重力加速度である。
説明
右辺の第一項はしばしば $\nabla w = \nabla p / \rho$ のように熱力学的仕事thermodynamic workとして書き換えることがある。
オイラーの運動方程式はニュートンの運動の第2法則を流体力学に適用したものと見なせる。
導出 1
物質微分の右辺は次のように二種類の項を含んでいる。 $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = {\color{red} {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }}} + {\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}} $$ ここで最初の赤い $\color{red} \partial \mathbf{u} / \partial t$ を局所加速度local accelerationあるいは簡単に慣性項と呼べる。二番目の青い $\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}$ は対流加速度convective accelerationあるいは簡単に対流項と呼べる。
流体力学では流体粒子の加速度は物質微分で表され、$\mathbf{u}$ は既に速度ベクトルなので、$\mathbf{u}$ に物質微分をとることは次のようにある加速度 $\mathbf{a}$ と重力加速度 $\mathbf{g}$ の和として表せる。 $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = \mathbf{a} + \mathbf{g} $$
さてこの $\mathbf{a}$ を求める。一般性を失わずに(../2720)、横・縦・高さの変化量をそれぞれ $dx_{1} , dx_{2} , dx_{3}$、質量を $m$ とする微小直方体の内部方向に、面に垂直な $\mathbf{F} = \left( F_{1} , F_{2} , F_{3} \right)$ という力が作用するとする。
圧力・体積応力: 表面積が $A$ の物体に作用する力を $F$ とすると、 $p = F / A$ を圧力pressureと呼ぶ。圧力の変化量 $\Delta p$ を体積応力volume stressと呼ぶ。物体の元の体積 $V_{0}$ と体積の変化量 $\Delta V$ の比 $\Delta V / V_{0}$ を体積変形率volume strainと呼ぶ。体積応力と体積変形率の比 $B$ を体積弾性率bulk modulusと呼ぶ。 $$ B := \frac{\text{volume stress}}{\text{volume strain}} = - \frac{\Delta F / A}{\Delta V / V_{0}} = - \frac{\Delta P}{\Delta V / V_{0}} $$ ここで $B$ の定義にあるマイナス符号は圧力が増加すると体積が減少することを反映して $B$ が正になるようにするために必要である。
力は圧力と面積の積で表されるから $F = p A$、圧力 $p$ が作用するとき $F = F_{1}$ は圧力 $p$ と面積 $A = d x_{2} d_{3}$ の積である $F_{1} = p d x_{2} d x_{3}$ と表せる。圧力が作用して体積の変化量は負になり、かつ $dV = - dx_{1} dx_{2} dx_{3}$ なので両辺を $x_{1}$ で偏微分すれば次を得る。 $$ \begin{align*} & {\frac{ \partial F_{1} }{ \partial x_{1} }} = {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} d x_{2} d x_{3} \\ \implies & d F_{1} = {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} d x_{2} d x_{3} d x_{1} \\ \implies& d F_{1} = - {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} d V \end{align*} $$ これは $d F_{2}$ と $d F_{3}$ に対しても同様に成り立つので、次のようにうまくまとめてベクトル形で書ける。 $$ \begin{align*} \begin{bmatrix} d F_{1} \\ d F_{2} \\ d F_{3} \end{bmatrix} =& - \begin{bmatrix} {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} \\ {\frac{ \partial p }{ \partial x_{2} }} \\ {\frac{ \partial p }{ \partial x_{3} }} \end{bmatrix} d V \\ \implies d \mathbf{F} =& - \nabla p d V \end{align*} $$
ニュートンの運動法則: $$ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $$
密度は $\rho = m / V$ のように質量と体積の比で定義されるので、ニュートンの第2法則で両辺を質量 $m$ で割った $d \mathbf{F} / dm = \mathbf{a}$ から次を得る。 $$ \begin{align*} \mathbf{a} =& {\frac{ d \mathbf{F} }{ d m }} \\ =& - {\frac{ \nabla p d V }{ \rho d V }} \\ =& - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p \end{align*} $$ 最後に物質微分で表された $D \mathbf{u} / Dt = \mathbf{a} + \mathbf{g}$ に上で求めた $\mathbf{a}$ を代入し、物質微分を時間に関する微分と発散項の和に置き換えれば次のようにオイラー方程式を得る。 $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$
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