📂流体力学

ラメパラメータ

定理

$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 特に、3次元空間で視点 $t$ と空間座標 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ の速度場を上のような速度ベクトルで表すとする。この流体が粘性と圧縮性を持つニュートン流体であるとする。等方性が仮定されるコーシー応力テンソル $\sigma$ は対称化された勾配 $\varepsilon$ に対して次のように表せる。 $$ \sigma = - p I + 2 \mu \varepsilon + \lambda \tr \left( \varepsilon \right) I $$ ここで $I$ は単位行列である。

二つのスカラー $\mu$ と $\lambda$ を ラメパラメータ^{Lamé parameters}と呼ぶ。

説明

ラメパラメータはコーシー応力テンソルの線形結合で現れる重みとみなせるパラメータであり、 $\mu$ は粘性に関係し $\lambda$ は圧縮性に関係する。コーシー応力テンソルのこの表現はナビエ–ストークス方程式の導出と一般化において重要な役割を果たす。

証明 ¹

数学的に非常に厳密というよりは、直感的な幾何から出発し、随所に「十分に小さい量」に関する仮定が入り、多くの近似を用いる。

$\mathbf{u}$ のヤコビアンを簡単に $\nabla \mathbf{u}$ と表すとする。このとき、次のように定義される行列演算 $\epsilon (\mathbf{u})$ を 対称化された勾配^{symmetrized gradient}と呼ぶ。 $$ \varepsilon (\mathbf{u}) = {\frac{ 1 }{ 2 }} \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

幅 $x = x_{1}$、奥行 $y = x_{2}$、高さ $z = x_{3}$ がそれぞれ $dx$、$dy$、$dz$ である微小直方体を仮定する。一般性を失わずに $x$ 軸について上のような変形が起こるとする。流体は等方性が仮定できるので、 $\sigma$ は次のように静水圧^{hydrostatic pressure} $-p I$ と偏差応力^{deviatoric stress} $\tau$ の和として始める。 $$ \sigma = - p I + \tau $$

粘性

変形率:

5. 物体の元の長さ $L_{0}$ と長さの変化量 $\Delta L$ の比 $\Delta L / L_{0}$ を 引張ひずみ^{tensile strain}と呼ぶ。
6. せん断面が水平方向に動いた距離を $\Delta x$、せん断面の高さを $h$ とすると、$\Delta x / h$ を せん断ひずみ^{shear strain}と呼ぶ。
7. 物体の元の体積 $V_{0}$ と体積の変化量 $\Delta V$ の比 $\Delta V / V_{0}$ を 体積ひずみ^{volume strain}と呼ぶ。

まず粘性による 変形率テンソル^{strain tensor} $S$ を次のように置く。 $$ S = \begin{bmatrix} s_{xx} & s_{xy} & s_{xz} \\ s_{yx} & s_{yy} & s_{yz} \\ s_{zx} & s_{zy} & s_{zz} \end{bmatrix} $$

大前提でこの流体がニュートン流体であると仮定したので、動粘性係数 $\mu$ に対して $\tau = \mu S$ のように正比例の関係とすることができる。 $$ \sigma = - p I + \mu S $$

ここで垂直に生じるひずみ $s_{xx}$ は元の線分 $AB$ の長さ $L_{0} = \overline{AB}$ から変形後の線分 $ab$ の長さ $\overline{ab}$ の変化量 $\Delta L = \overline{ab} - \overline{AB}$ との比 $\Delta L / L_{0}$ で表す。元の長さは $\overline{AB} = dx$ であり、変形後の長さ $\overline{ab}$ は速度場 $\mathbf{u} = \left( u_{x} , u_{y} , u_{z} \right)$ の影響を受けて変わる。ただしここでは $z$-軸を省略して計算すると次のようになる。 $$ \begin{align*} \overline{ab} =& \sqrt{ \left( dx + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} dx \right)^{2} + \left( {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} dx \right)^{2} } \\ =& dx \sqrt{ \left( 1 + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} \right)^{2} + \left( {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} \right)^{2} } \end{align*} $$

$x$ 軸の変化に伴う $y$ 方向の速度の変化、すなわち $\partial u_{y} / \partial x$ が十分小さいと仮定すると $\overline{ab}$ は次のように短縮される。 $$ \overline{ab} = dx + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} dx $$ したがって $x$-軸方向の垂直変形 $s_{xx}$ は次のようになる。 $$ \begin{align*} s_{xx} =& {\frac{ \Delta L }{ L_{0} }} \\ =& {\frac{ \overline{ab} - \overline{AB} }{ \overline{AB} }} \\ =& {\frac{ \left( dx + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} dx \right) - dx }{ dx }} \\ =& {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} \end{align*} $$

同じ理由で $s_{yy}$ と $s_{zz}$ も次のように求められる。 $$ \begin{align*} s_{yy} =& {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} \\ s_{zz} =& {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial z }} \end{align*} $$

せん断変形 $s_{xy}$ は次のように、 $\overline{AB}$ が $\overline{ab}$ に変形して生じる角度 $\alpha$ と $\overline{AC}$ が $\overline{ac}$ に変形して生じる角度 $\beta$ の和として表す。 $$ s_{xy} = \alpha + \beta $$ $\alpha$ と $\beta$ は十分に小さい角度のもとで $\tan \alpha \approx \alpha$ と $\tan \beta \approx \beta$ のように三角関数を取る前の値自体で近似できる。 $$ \begin{align*} \alpha \approx& \tan \alpha = {\frac{ {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} dx }{ dx + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} dx }} = {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} {\frac{ 1 }{ 1 + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} }} \\ \beta \approx& \tan \beta = {\frac{ {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial y }} dy }{ dy + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} dy }} = {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial y }} {\frac{ 1 }{ 1 + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} }} \end{align*} $$

$\partial u_{x} / \partial x$ と $\partial u_{y} / \partial y$ が $1$ より遥かに小さいはずなので、 $s_{xy} = s_{yx}$ は次のように近似できる。 $$ s_{xy} = s_{yx} = \alpha + \beta \approx {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial y }} + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} $$

$S$ を直接書き下すと次のようになる。 $$ S = \begin{bmatrix} {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} & {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial y }} + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} & {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial z }} + {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial x }} \\ {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial y }} & {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} & {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial z }} + {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial y }} \\ {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial x }} + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial z }} & {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial y }} + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial z }} & {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial z }} \end{bmatrix} $$

対称化された勾配: $$ \varepsilon (\mathbf{u}) = {\frac{ 1 }{ 2 }} \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

これに対称化された勾配となるように項を分解すると次のように簡潔な表現を得る。 $$ \begin{align*} \sigma =& - p I + \tau \\ =& - p I + \mu S \\ =& - p I + \mu 2 {\frac{ 1 }{ 2 }} \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) \\ =& - p I + 2 \mu \varepsilon \end{align*} $$

圧縮性

流体が圧縮性を持ち、体積ひずみまで反映するとする。式的には次のように $W = \lambda \delta$ が加えられる。 $$ \sigma = - p I + 2 \mu \varepsilon + W $$

元の体積は $V_{0} = dx dy dz$ であり、変形後の体積 $V$ は次のようになる。 $$ \begin{align*} V =& \left( dx + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} dx \right) \left( dy + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} dy \right) \left( dz + {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial z }} dz \right) \\ =& dx dy dz \left( 1 + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} \right) \left( 1 + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} \right) \left( 1 + {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial z }} \right) \\ =& dx dy dz \left( 1 + s_{xx} \right) \left( 1 + s_{yy} \right) \left( 1 + s_{zz} \right) \\ =& V_{0} \left( 1 + s_{xx} + s_{yy} + s_{zz} + s_{xx} s_{yy} + s_{yy} s_{zz} + s_{zz} s_{xx} + s_{xx} s_{yy} s_{zz} \right) \end{align*} $$ $1 \gg s_{xx} \gg s_{xx} s_{yy}$ であるため二回以上掛かる項は無視でき、体積変形率 $\delta$ は次のように近似できる。 $$ \delta = {\frac{ \Delta V }{ V_{0} }} = {\frac{ V - V_{0} }{ V_{0} }} = s_{xx} + s_{yy} + s_{zz} $$ ちょうど $\delta = \tr \left( S \right) = \tr \left( \varepsilon \right)$ であり、これらの変形率が各次元で同一に反映されるため、単位行列 $I$ が掛かって各次元ごとに加えられた形として次を得る。 $$ \sigma = - p I + 2 \mu \varepsilon + \lambda \tr \left( \varepsilon \right) I $$

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