物質微分 (ぶっしつびぶん)
定義 1
$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 特に、3次元空間で観測点 $t$ と空間座標 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ の速度ベクトルを上のように表すとしよう。
$$ {\frac{ D }{ D t }} = {\frac{ \partial }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial }{ \partial x_{3} }} $$
上のように時間に関する微分項と発散項の和として表される微分作用素 $D$ を 物質微分material derivativeと呼ぶ。ベクトル形 $\mathbf{u}$ については次のように表される。 $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} $$
説明 1
ベクトル形で書かれた物質微分を各成分ごとに展開すると次のようになる。 $$ \begin{align*} {\frac{ D u_{1} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) u_{1} \\ {\frac{ D u_{2} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) u_{2} \\ {\frac{ D u_{3} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) u_{3} \end{align*} $$ 最後にもう一度理解を助けるため座標別に書くと次のようになる。 $$ \begin{align*} {\frac{ D u_{1} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ D u_{2} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ D u_{3} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{3} }} \end{align*} $$
オイラーとラグランジュ記述法の結合
簡潔な形に戻すと、物質微分の右辺は次のように二種類の項を含んでいる。 $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = {\color{red} {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }}} + {\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}} $$ ここで最初の赤い $\color{red} \partial \mathbf{u} / \partial t$ を 局所加速度local acceleration、あるいは簡単に 慣性項 と呼ぶことができる。二番目の青い $\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}$ は 移流加速度convective acceleration、または簡単に 移流項 と呼ぶ。
オイラーとラグランジュ記述法: 流体力学では流体は形が明確でなく運動状態を詳しく知りにくいため、流体粒子fluid particleのようなものを仮定する。流体粒子の運動状態を記述する記述法descriptionは二種類ある。 $$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} $$ オイラーEulerian記述法はある時点で空間の各点における流体の運動状態を観測する方式である。 $$ {\frac{ \partial u }{ \partial x }} , {\frac{ \partial u }{ \partial y }} , {\frac{ \partial u }{ \partial z }} $$ ラグランジュLagrangian記述法は流体粒子を追跡してその運動状態を観測する方式である。
慣性項はオイラー記述法に由来し、移流項はラグランジュ記述法に由来する。このように項の呼び名もそうだが、物質微分は特に流体力学全般で必ず登場する。
$$ u_{t} + u u_{x} = 0 $$ 例えば非粘性バーガース方程式は物質微分を用いると次のようにより簡潔に書ける。 $$ {\frac{ D u }{ D t }} = 0 $$
導出
ベクトル解析に慣れていれば容易に分かるように、実は物質微分は全微分の特殊な例に過ぎない。導出過程を直接見て理解しよう。
多変数ベクトル関数の連鎖法則: 二つの関数 $\mathbf{g} : D \subset \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k}$, $\mathbf{f} : \mathbf{g}(\mathbb{R}^{k}) \subset \mathbb{R}^{k} \to \mathbb{R}^{n}$ が微分可能だとする。するとこれらの合成 $\mathbf{F} = \mathbf{f} \circ \mathbf{g} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$ も微分可能で、$\mathbf{F}$ の(全)導関数は次を満たす。 $$ \mathbf{F}^{\prime}(\mathbf{x}) = \mathbf{f}^{\prime}\left( \mathbf{g}(\mathbf{x}) \right) \mathbf{g}^{\prime}(\mathbf{x}) $$
$\partial t / \partial t = 1$ であり $k = 1,2,3$ に対して $u_{k} = d x_{k} / dt$ なので、ベクトル関数の連鎖法則により物質微分を得ることができる。