弾性率のさまざまな定義
定義 1
- 物体の変形deformationを引き起こす力を応力またはストレスstressという。
- 応力の結果として、変形の程度を測る量を変形率strainという。
- 応力と変形率の比を弾性係数elastic modulusという。 $$ \text{elastic modulus} = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} $$
弾性係数には一般に三種類がある。
長さの弾性
- 外部から加えられる力 $F$ と垂直な断面積 $A$ の比 $F / A$ を 引張応力tensile stressという。
- 物体の元の長さ $L_{0}$ と長さの変化量 $\Delta L$ の比 $\Delta L / L_{0}$ を 引張変形率tensile strainという。
- 引張応力と引張変形率の比 $Y$ を ヤング率Young’s modulusという。 $$ Y := \frac{\text{tensile stress}}{\text{tensile strain}} = \frac{F / A}{\Delta L / L_{0}} $$
形の弾性
- 物体が面積 $A$ のせん断面に接して押す力を $F$ とすると、力と面積の比 $F / A$ を せん断応力shear stressという。
- せん断面が水平方向に動いた距離を $\Delta x$、せん断面の高さを $h$ とすると、$\Delta x / h$ を せん断変形率shear strainという。
- せん断応力とせん断変形率の比 $S$ を せん断弾性率shear modulusという。 $$ S := \frac{\text{shear stress}}{\text{shear strain}} = \frac{F / A}{\Delta x / h} $$
体積の弾性
- 表面積が $A$ の物体に加えられる力を $F$ とすると、$P = F / A$ を 圧力pressureという。圧力の変化量 $\Delta P$ を 体積応力volume stressという。
- 物体の元の体積 $V_{0}$ と体積の変化量 $\Delta V$ の比 $\Delta V / V_{0}$ を 体積変形率volume strainという。
- 体積応力と体積変形率の比 $B$ を 体積弾性率bulk modulusという。 $$ B := \frac{\text{volume stress}}{\text{volume strain}} = - \frac{\Delta F / A}{\Delta V / V_{0}} = - \frac{\Delta P}{\Delta V / V_{0}} $$
- 体積弾性率の逆数 $B^{-1}$ を 圧縮率compressibilityという。
ここで $B$ の定義にあるマイナス符号は、圧力が増加すると体積が減少することを反映して $B$ が正になるようにするために必要である。
説明
他はともかく、せん断応力は直感的に理解しにくいことがあるが、よく上図のように厚い本を上から押して横に滑らせるときに生じる変形を例に挙げられる。
- 液体と気体をまとめて呼ぶもの
- 無秩序に配列し互いに集まっている分子の集まり2
- 静止状態では垂直応力が作用し、流動状態ではせん断力が及べば連続的に変形が起きて流れる物質1
しかし実際にせん断ストレスに接する際には、厚い本が滑る現象自体に関心があるわけではなく、少なくとも流体のような物質を扱うときに遭遇することが多くなるだろう。
いきなり流体の定義で「垂直応力が作用し、せん断力によって変形が生じる」と言われても理解しにくいが、厚い本の例のように「横に押し流される」というせん断応力の概念を理解すれば、さらに明確に流体の運動を想像できる。
静止状態で垂直応力が作用するというのは文字通り垂直に押し下げられて崩れる性質である。重力や大気圧などによって上から下へ向かう応力を受けると、突然の破壊が起きるのではなく連続的な変形が生じる。一方、流動状態でせん断応力が作用するというのは、水平方向の流れによって生じる変形を引き起こすということである。