📂数理統計学

確率論における安定分布

定義 ¹

暗黙的定義

退化分布でない確率変数 $X$ について $X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} X$ とする。すべての $n > 1$ に対して次を満たす $c_{n} > 0$ と $d_{n} \in \mathbb{R}$ が存在することと必要十分条件は $X$ が 安定^stableであることである。 $$ X_{1} + \cdots + X_{n} \sim c_{n} X + d_{n} $$

明示的定義

$0 < \alpha \le 2$ と $-1 \le \beta \le 1$ に対して確率変数 $Z$ の特性関数が次のようであるとする。 $$ \varphi_{Z} (u) = \begin{cases} \exp \left( - \left| u \right|^{\alpha} \left[ 1 - i \beta \sign u \tan \left( \pi \alpha / 2 \right) \right] \right) & , \text{if } \alpha \ne 1 \\ \exp \left( - \left| u \right| \left[ 1 + i \beta \left( 2 / \pi \right) \sign u \log \left| u \right| \right] \right) & , \text{if } \alpha = 1 \end{cases} $$ これに対して $X \sim a Z + b$ を満たす $a > 0$ と $b \in \mathbb{R}$ が存在することと必要十分条件は $X$ が 安定であることである。ここで明示的定義と述べたにもかかわらず、安定分布の確率密度関数は特殊な場合にしか閉形式で現れない。

パラメータ化

安定指標は四つのパラメータ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ と形状を意味する整数 $k$ を含めて $S \left( \alpha , \beta , \gamma, \delta ; k \right)$ と表記する。ノーランはその著書で上の明示的定義のほかに10通りの別のパラメータ化を紹介しており、安定分布を扱う文献ではどのパラメータ化を用いるかを明確に示すよう促している。そのうち2つだけ見てみよう。

• $\alpha \in ( 0 , 2 ]$: 安定性指数^{index of stability}
• $\beta \in [ -1 , 1 ]$: 歪度^skewness
• $\gamma > 0$: スケール^scale
• $\delta \in \mathbb{R}$: 位置^location
• $k = 0 , \cdots , 10$: 形状

ノーランの第0型

確率変数 $X$ が次を満たすなら、$X \sim S \left( \alpha , \beta , \gamma, \delta ; 0 \right)$ と呼ぶ。 $$ X \sim \begin{cases} \gamma \left( Z - \beta \tan \left( \pi \alpha / 2 \right) \right) & , \text{if } \alpha \ne 1 \\ \gamma Z + \delta & , \text{if } \alpha = 1 \end{cases} $$

ノーランの第1型

確率変数 $X$ が次を満たすなら、$X \sim S \left( \alpha , \beta , \gamma, \delta ; 1 \right)$ と呼ぶ。 $$ X \sim \begin{cases} \gamma Z + \delta & , \text{if } \alpha \ne 1 \\ \gamma Z + \left( \delta + \beta \left( 2 / \pi \right) \gamma \log \gamma \right) & , \text{if } \alpha = 1 \end{cases} $$

説明

安定分布はポール・レヴィ^{Paul Lévy}の名にちなんでレヴィ $\alpha$ 分布とも呼ばれる。暗黙的定義において、安定分布が「安定的」と呼ばれる理由は加法に対して閉じているという感覚として受け取ることもできる。

分布間の関係に注目すると、安定分布は正規分布、コーシー分布、レヴィ分布の一般化であり、$\alpha = 2, \beta 0$ のとき正規分布、$\alpha = 1, \beta = 0$ のときコーシー分布、$\alpha = 1/2, \beta = 1$ のときレヴィ分布になる。他の二つの分布と異なりレヴィ分布は統計学の文脈ではやや馴染みが薄いかもしれないが、増分 $X_{t+1} - X_{t}$ がヘビーテールの安定分布に従う確率過程をレヴィ飛行と呼ぶなどレヴィとは多くの関係がある。

一般化された中心極限定理

安定分布に関する中心極限定理の一般化もある。 $$ a_{n} \left( X_{1} + \cdots + X_{n} \right) - b_{n} \overset{D}{\to} Z $$ $X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} X$ に対して上を満たす $a_{n} > 0$ と $b_{n} \in \mathbb{R}$ が存在することと必要十分条件は $X$ がアトラクターの領域^{domain of attractor} $DA \left( Z \right)$ に属することであり、これによって $DA(Z)$ を定義する。

一般化された中心極限定理はここで $Z$ が $0 < \alpha \le 2$ である安定分布であることの必要十分条件が $X$ が $DA(Z)$ に属することであると述べる。