双曲線の光学的特性の証明
定理
双曲線 上の点 $P$ と二つの焦点 $F_{1}, F_{2}$ について、$P$ における接線と $\overline{PF_{1}}$、$\overline{PF_{2}}$ が成す角の大きさをそれぞれ $\alpha$ と $\beta$ とすると、$\alpha$ と $\beta$ は等しい。
説明
望遠鏡への応用
証明
いろいろ探してみたが、放物線の光学的性質の証明で紹介した方法で証明するのが一番すっきりしており、それ以外に妙案はなかった。せいぜいこれまで見た代案の中で補題を最小限に要求する証明を見つけて不足していた部分を補った1。
パート1.
$$ {\frac{ x^{2} }{ a^{2} }} - {\frac{ y^{2} }{ b^{2} }} = 1 $$ 一般性を失わずこの双曲線は上のような方程式で表されるとする。焦点の座標をそれぞれ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ に対して $F_{1} = (-c, 0)$、$F_{2} = (c, 0)$ で、$P = \left( x_{0} , y_{0} \right)$ とすると $P$ における接線の方程式は $x_{0} x / a^{2} - y_{0} y / b^{2} = 1$ であり、$y = 0$ を代入して $Q = \left( a^{2} / x_{0} , 0 \right)$ を得る。これによれば $Q$ から焦点までの長さは次のようになる。 $$ \begin{align*} \overline{Q F_{1}} =& c + {\frac{ a^{2} }{ x_{0} }} \\ \overline{Q F_{2}} =& c - {\frac{ a^{2} }{ x_{0} }} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \overline{P F_{1}} =& \sqrt{ \left( x_{0} + c \right)^{2} + y_{0}^{2} } \\ \overline{P F_{2}} =& \sqrt{ \left( x_{0} - c \right)^{2} + y_{0}^{2} } \end{align*} $$ $P$ は双曲線上の点なので $y_{0}^{2} = \left( b/a \right)^{2} \left( x_{0}^{2} - a^{2} \right)$ であり、これを用いて線分の長さの二乗を次のように計算できる。 $$ \begin{align*} & \left( x_{0} \pm c \right)^{2} + y_{0}^{2} \\ =& \left( x_{0} \pm c \right)^{2} + \left( b/a \right)^{2} \left( x_{0}^{2} - a^{2} \right) \\ =& \left( 1 + {\frac{ b^{2} }{ a^{2} }} \right) x_{0}^{2} \pm 2 c x_{0} + c^{2} - b^{2} \\ =& \left( {\frac{ c^{2} }{ a^{2} }} \right) x_{0}^{2} \pm 2 c x_{0} + a^{2} \\ =& \left( {\frac{ c }{ a }} x_{0} \pm a \right)^{2} \\ =& {\frac{ x_{0}^{2} }{ a^{2} }} \left( c \pm {\frac{ a }{ x_{0} }} \right)^{2} \end{align*} $$
二乗で括られた第二項は $Q$ から焦点までの距離なので、その定数倍として表される。 $$ \begin{align*} \overline{P F_{1}} =& {\frac{ x_{0} }{ a }} \left( c + {\frac{ a^{2} }{ x_{0} }} \right) = {\frac{ x_{0} }{ a }} \overline{Q F_{1}} \\ \overline{P F_{2}} =& {\frac{ x_{0} }{ a }} \left( c - {\frac{ a^{2} }{ x_{0} }} \right) = {\frac{ x_{0} }{ a }} \overline{Q F_{2}} \end{align*} $$
通常ここで $\overline{PQ}$ が角の二等分線であると主張して証明を終えるが、そのような補題を使わないことがこの証明の要点である。
パート2.
まず $P$ における接線が $x$ 軸と交わる点を $Q$ とし、$F_{1}$ と $F_{2}$ から接線に下した垂線の垂足をそれぞれ $R_{1}$ と $R_{2}$ とすると、こうしてできる二つの三角形 $\triangle{F_{1}QR_{1}}$ と $\triangle{F_{2}QR_{2}}$ は相似であり、次を得る。 $$ {\frac{ \overline{R_{1} F_{1}} }{ \overline{R_{2} F_{2}} }} = {\frac{ \overline{Q F_{1}} }{ \overline{Q F_{2}} }} $$ パート1で得た結果により次の等式が成り立つ。 $$ {\frac{ \overline{R_{1} F_{1}} }{ \overline{R_{2} F_{2}} }} = {\frac{ \overline{Q F_{1}} }{ \overline{Q F_{2}} }} = {\frac{ \overline{P F_{1}} }{ \overline{P F_{2}} }} $$
パート3.
二つの三角形 $\triangle{P F_{1} R_{1}}$ と $\triangle{P F_{2} R_{2}}$ は相似であり、$\alpha$ と $\beta$ が等しいことが分かる。