楕円の光学的性質の証明
定理
楕円 上の一点 $P$ と二つの焦点 $F_{1}, F_{2}$ について、$P$ での接線と $\overline{PF_{1}}$、$\overline{PF_{2}}$ が成す角の大きさをそれぞれ $\alpha$ と $\beta$ とすると、$\alpha$ と $\beta$ は等しい。
説明
簡単に言えば、楕円の一方の焦点から出た光は他方の焦点に集まる、ということだ。
有名な応用としてはセント・ポール大聖堂の回廊が楕円形に設計されており、小さな声で囁いても反対側の焦点で聞こえるという例があり、さらに実用的な例としてはエネルギーを正確な点に導くことを利用した医療用結石破砕機などがある。
証明
戦略: 楕円の光学的性質を証明する方法はいくつかあるが、論証幾何で直接導く方法や座標をとって直接計算する方法とは異なり、面白い証明を見つけたので紹介する1。証明を理解するための学習は学部レベル以上を要求するが、それだけすっきりしており楕円体のように多次元に一般化した場合にも通用する。ただし2次元平面図形に関してはわざわざこれほど学んで証明する必要はないにすぎない。
楕円上の点を $P = P(t)$ のようにパラメータ化して考える。楕円の定義により $P$ と $F_{1}$ の間の距離と $P$ と $F_{2}$ の間の距離の和はある定数 $C$ に対して次を満たす。 $$ \left\| P - F_{1} \right\| + \left\| P - F_{2} \right\| = C $$
ノルムの微分: 点 $\mathbf{a}$ とベクトル $\mathbf{x} = \mathbf{x} (t)$ との距離としての $l^{2}$-ノルム $\left\| \mathbf{x} - \mathbf{a} \right\|$ の導関数は次のとおりだ。 $$ {\frac{ d \left\| \mathbf{x} - \mathbf{a} \right\| }{ d t }} = \dot{\mathbf{x}} \cdot {\frac{ \mathbf{x} - \mathbf{a} }{ \left\| \mathbf{x} - \mathbf{a} \right\| }} $$
ノルムの微分法を通じて次を得る。$\dot{P}$ は接線、平面においては接線の方向を示すベクトルとなる。 $$ \dot{P} \cdot {\frac{ P - F_{1} }{ \left\| P - F_{1} \right\| }} + \dot{P} \cdot {\frac{ P - F_{2} }{ \left\| P - F_{2} \right\| }} = 0 $$
角度の定義: 二つのベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ に対して次を満たす $\theta$ を二つのベクトル間の角度angleと定義する。 $$ \cos \theta = {{ \left< \mathbf{u}, \mathbf{v} \right> } \over { \left| \mathbf{u} \right| \left| \mathbf{v} \right| }} $$
偶関数の定義: $f(-x) = f(x)$ を満たす関数 $f(x)$ を偶関数evenと呼ぶ。
$$ \begin{align*} & {\frac{ \dot{P} }{ \left\| \dot{P} \right\| }} \cdot {\frac{ P - F_{1} }{ \left\| P - F_{1} \right\| }} + {\frac{ \dot{P} }{ \left\| \dot{P} \right\| }} \cdot {\frac{ P - F_{2} }{ \left\| P - F_{2} \right\| }} = 0 \\ \implies & {\frac{ \left< \dot{P} , P - F_{1} \right> }{ \left\| \dot{P} \right\| \left\| P - F_{1} \right\| }} + {\frac{ \left< \dot{P} , P - F_{2} \right> }{ \left\| \dot{P} \right\| \left\| P - F_{2} \right\| }} = 0 \\ \implies & \cos \left( \alpha \right) + \cos \left( \beta \right) = 0 \\ \implies & \cos \left( \alpha \right) = - \cos \left( \beta \right) \\ \implies & \cos \left( \alpha \right) = \cos \left( \beta \right) \\ \implies & \left| \alpha \right| = \left| \beta \right| \end{align*} $$ 両辺のすべての項に $\left\| \dot{P} \right\|^{-1}$ を掛ければこれらをコサインで表すことができ、$\alpha$ と $\beta$ の大きさが等しいことが分かる。
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