📂幾何学

放物線の光学的性質の証明

定理

放物線上の一点 $P$ と焦点 $F$、および準線 $l$ について、$P$ における接線と準線 $l$ に垂直な直線、$\overline{PF}$ と成す角の大きさをそれぞれ $\alpha$ と $\beta$ とすると、$\alpha$ と $\beta$ は等しい。

説明

簡単に言えば、放物線の焦点から出た光は準線に垂直な方向へ直進するということだ。

光が直進するため効率的にエネルギーを伝達でき、ヘッドライトのような照明や衛星用パラボラアンテナなどに利用される。

証明 ¹

$$ y^{2} = 4 a x $$ 放物線の方程式が上のように与えられており、$P$ での接線が $x$ 軸と交わる点を $Q$ とする。 媒介変数 $t$ に関する接線の方程式および $P(t)$ と $Q(t)$ の座標はそれぞれ次の通りである。 $$ \begin{align*} y =& {\frac{ 1 }{ t }} x + a t \\ P(t) =& \left( a t^{2} , 2 a t \right) \\ Q(t) =& \left( - a t^{2} , 0 \right) \end{align*} $$ $\overline{QF}$ の長さは次の通りである。 $$ \left| - a t^{2} - a \right| = a \left( t^{2} + 1 \right) $$ $\overline{FP}$ の長さは次の通りである。 $$ \begin{align*} & \sqrt{ \left( a t^{2} - a \right)^{2} + \left( 2 a t - 0 \right)^{2} } \\ =& \sqrt{ a^{2} t^{2} - 2 a^{2} t^{2} + a^{2} + 4 a^{2} t^{2} } \\ =& \sqrt{ a^{2} t^{4} + 2 a^{2} t^{2} + a^{2} } \\ =& a \sqrt{ t^{4} + 2 t^{2} + 1 } \\ =& a \left( t^{2} + 1 \right) \end{align*} $$

2つの線分 $\overline{QF}$ と $\overline{FP}$ の長さが等しいので、三角形 $\triangle{FPQ}$ は二等辺三角形であり、$\alpha = \beta$ であることがわかる。

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関連項目

• 放物線の光学的性質
• 楕円の光学的性質
• 双曲線の光学的性質の証明