平面上の垂線の足の座標の公式の導出
公式
点 $P \left( x_{0} , x_{0} \right)$ から直線 $l :y = ax + b$ に下した垂線の足を $Q$ とする。 $Q$ の座標は次の通りである。 $$ \left( {\frac{ 1 }{ 1 + a^{2} }} \left[ a^{2} y_{0} + a x_{0} + b \right] , {\frac{ 1 }{ 1 + a^{2} }} \left[ a y_{0} + x_{0} - ab \right] \right) $$
説明
垂線の足foot of the perpendicularとは、直線 $l$ に垂直でかつ点 $P$ を通る直線との交点を指す。
導出
直交する二直線の傾き：直交する二直線の傾きの積は常に $-1$ である。
線分 $\overline{PQ}$ は $l$ に垂直であるから、その傾きは $-1/a$ でなければならない。垂線の足の座標を $Q \left( x_{1} , y_{1} \right)$ とすると、点 $Q$ は次のような連立方程式の解になる。 $$ \begin{align} y_{1} &= a x_{1} + b \\ y_{0} - y_{1} &= -\frac{1}{a} \left( x_{0} - x_{1} \right) \end{align} $$ $y_{1}$ を消去するために、上の式と下の式にそれぞれ $a$ を掛けて足し合わせると $$ \begin{align*} a y_{0} &= a^{2} x_{1} + ab - x_{0} + x_{1} \\ \implies a y_{0} + x_{0} - ab &= \left( 1 + a^{2} \right) x_{1} \end{align*} $$ を得る。下の式の両辺に $- a^{2}$ を掛けると $$ a^{2} y_{1} = a^{2} y_{0} + a x_{0} - a x_{1} $$ を得て、これを上の式に加えると次を得る。 $$ \left( 1 + a^{2} \right) y_{1} = a^{2} y_{0} + a x_{0} + b $$
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