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部分空間の直交補空間 📂線形代数

部分空間の直交補空間

定義1

ベクトル空間 VV の部分空間 WW に対する集合

W⊥={v∈V :⟨v,w⟩=0,∀w∈W} W^{\perp} = \left\{ \mathbf{v} \in V \ : \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle = 0,\quad \forall \mathbf{w} \in W \right\}

を WW の直交補空間orthogonal complementという。この時 ⟨,⟩\langle , \rangle は内積である。

説明

つまり、W⊥W^{\perp}は WW のすべての元と直交するベクトルを集めた集合である。記号 ⊥^{\perp} は perpendicular を縮めて perp[ぺるぷ] と読む。文字通りの定義だから特にユークリッド空間では容易に受け入れることができる定義だろう。簡単な例で、R3\mathbb{R}^{3} から W=span{(1,0,0),(0,1,0)}W = \text{span} \left\{ (1,0,0) , (0,1,0) \right\} とするならば W⊥=span{(0,0,1)}W^{\perp} = \text{span} \left\{ (0,0,1) \right\} になる。

性質

WW と RR を Rn\mathbb{R}^{n} の部分空間、 A∈Mm×n(R)A \in M_{ m \times n}(\mathbb{R}) としよう。すると、次の性質を満たす。

[1] (W⊥)⊥=W( W^{\perp} ) ^{\perp} = W

[2] W⊕W⊥=Rn W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^{n}

[3] R⊂W  ⟺  W⊥⊂R⊥R \subset W \iff W^{\perp} \subset R^{\perp}

[4] N(A)⊥=R(A)\mathcal{N} (A)^{\perp} = \mathcal{R} (A)

[5] C(A)⊥=N(AT)\mathcal{C} (A)^{\perp} = \mathcal{N} (A^{T})

[6] Rm=C(A)⊕N(AT)\mathbb{R}^m = \mathcal{C} (A) \oplus \mathcal{N} (A^{T})

[7] Rn=R(A)⊕N(A)\mathbb{R}^n = \mathcal{R} (A) \oplus \mathcal{N}(A)

これらの性質は、直交補空間の定義を考えると当たり前だと言えるだろう。ただし、[2] はチェックすることが多く少し厄介だ。これらの性質と一緒に重要なのは、零空間と列空間を一緒に考えた時の性質である。

これらの性質は一見複雑に見えるが、幸いにも ⊥\perp が TT の逆さまに見えれば、覚えることは難しくない。内外に移動しながら N\mathcal{N} と CC を反転させるように考えれば、全く混乱することはないだろう。

一方、ランク・ヌルティ数定理も**[6], [7]** の結果に dim⁡\dim を適用したものと考えることもできるだろう。

定理

WW が内積空間 VV の部分空間であるならば、次が成立する。

(a) W⊥W^{\perp} は VV の部分空間である。

(b) W∩W⊥={0}W \cap W^{\perp} = \left\{ \mathbf{0} \right\}

証明

(a)

すべての w∈W\mathbf{w} \in W に対して ⟨w,0⟩=0\langle \mathbf{w}, \mathbf{0} \rangle = 0 であるため、少なくとも 0\mathbf{0} は W⊥W^{\perp} に含まれる。それは空集合ではないので、加法とスカラー乗法で閉じているかだけを確認すればよい。u,v∈W⊥\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W^{\perp} k∈Rk\in R とする。すると、次の式が成り立つ。

⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩=0+0=0⟨ku,w⟩=k⟨u,v⟩=k⋅0=0 \begin{align*} \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle =& \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0 + 0 = 0 \\ \langle k \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle =& k \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = k \cdot 0 = 0 \end{align*} 従って、W⊥W^{\perp} は部分空間である。

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(b)

v∈W∩W⊥\mathbf{v} \in W \cap W^{\perp} とする。すると、v\mathbf{v} が v\mathbf{v} と直交するという意味であるので、

⟨v,v⟩=0 \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0

これを満たす v\mathbf{v} は内積の定義により 0\mathbf{0} のみである。

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  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version(12th Edition). 2019, p356~357 ↩︎