📂幾何学

バーコフ公理系

概要

バーコフ^Birkhoffはヒルベルトやユークリッドとはかなり異なる感覚でユークリッド幾何の公理系を説明しようとし、簡潔かつ強力な体系を提示した。先行する巨匠たちと同様に、点・直線・距離・角といった用語は定義せずに受け入れて用いる。

公理 ¹

$d$ は 距離である。

定義

1. もし $d (A,B) + d (B,C) = d (A,C)$ なら、点 $B$ が点 $A$ と点 $C$ の 間^betweenにあるという。
2. 点 $A$、$C$ とそれらの間にある全ての点 $B$ は 線分^{line segment} $\overline{AC}$ を成す。
3. 端点^endpoint $O$ と 半直線^half-line $m '$ は直線 $m$ 上の二点 $O$ と $A \ne O$ に対し、$O$ が $A$ と $A '$ の間にないすべての点 $A '$ の 集合^setとして定義される。
4. 異なる二直線が共通の点を持たなければ、それらは 平行^parallelである。直線は常に自身と平行であると見なす。
5. $O$ を通る二つの半直線 $m$ と $n$ があるとする。もし $\angle{mOn} = \pm \pi$ なら 平角^{straight angle} を成し、$\angle{mOn} = \pm \pi / 2$ なら 直角^{right angle} を成し、$m$ は $n$ に 垂直^{perpendicular}であるという。
6. 異なる三点 $A$、$B$、$C$ があれば、三つの線分 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ は辺 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ と頂点 $A$、$B$、$C$ を持つ 三角形^triangle $\triangle{ABC}$ を成す。もし三点が一直線上にあれば、$\triangle{ABC}$ は 退化^degenerateしているという。
7. 二つの図形が 相似^similar であるとは、対応する全ての点間の距離が比例し、対応する角の大きさが等しいような一対一対応が存在することである。二つの幾何図形が 合同^congruent であるとは相似であり、比例が $k = 1$ であることである。

公準

1. 直線測度公準^{postulate of line measurement}: 任意の直線 $m$ 上の点 $A, B, \cdots$ は、$\left| r_{B} - r_{A} \right| = d (A,B)$ となるような実数 $r_{A}, r_{B}, \cdots$ との一対一対応を与えられる。
2. 点-直線公準^{point-line postulate}: 異なる二点 $P, Q$ を含む直線 $m$ は唯一存在する。
3. 角測度公準^{postulate of angle measurement}: 任意の点 $O$ を通る半直線 $m , n$ は、$A \ne O$ と $B \ne O$ がそれぞれ $m$ と $n$ の点であり、$\left( a_{n} - a_{m} \right) \pmod{2 \pi}$ が $\angle{AOB}$ の大きさとなるような実数 $a \pmod{2 \pi}$ との一対一対応にできる。
4. 相似公準: 三角形 $\triangle{ABC}$ と $\triangle{A ' B ' C'}$ およびある正の定数 $k$ に対して、もし $d \left( A ' , B ' \right) = k d \left( A , B \right)$ かつ $d \left( A ' , C ' \right) = k d \left( A , B \right)$ かつ $\angle{BAC} = \pm \angle{B ' A ' C '}$ なら、$d \left( B ' , C ' \right) = k d \left( B , C \right)$ かつ $\angle{A ' B ' C '} = \pm \angle{ABC}$ かつ $\angle{A ' C ' B '} = \pm \angle{ACB}$ である。

参照

• ユークリッド公理系
• ヒルベルト公理系
• バーコフ公理系