📂幾何学

ヒルベルトの公理系

概要

ヒルベルト^Hilbertは、点、直線、平面、〜上、〜の間、合同といった用語を定義しないまま受け入れ、5つの類に分かれる16の命題を残した。特に連続公理はユークリッド幾何と算術体系の明確な関係性を指摘した。

ユークリッド幾何に関するヒルベルトの記述は、幾何原論が抱えていた大部分の問題に満足のいく形で対処し、ヒルベルトの生きた時代の数学界がかなり直観的に受け入れやすいものになっている。ヒルベルトの公理系は後代の数学で基準となるほどの厳密さを持つとされる。

公理 ¹

I. 連結公理^{Axiom of Incidence}

1. 任意の二点 $A$ と $B$ に対して、各々の $A$ と $B$ を含む直線が存在する。
2. 任意の二点 $A$ と $B$ に対して、各々の $A$ と $B$ を含む直線は一意である。
3. 直線上には少なくとも二つの点が存在する。直線上にない点が少なくとも一つ存在する。
4. 同じ直線上にない任意の三点 $A$, $B$, $C$ に対して、各々の $A$, $B$, $C$ を含む平面 $\alpha$ が存在する。すべての平面に対して、その平面が含む点が存在する。

II. 順序公理^{Axiom of Order}

1. もし点 $B$ が点 $A$ と $C$ の間にあるなら、$A$, $B$, $C$ は同一の直線上にある異なる点であり、$B$ は $C$ と $A$ の間にある。
2. 任意の異なる点 $A$ と $C$ に対して、直線 $\overleftrightarrow{AC}$ 上に $C$ が $A$ と $B$ の間に来るようにする点 $B$ が少なくとも一つ存在する。
3. もし $A$, $B$, $C$ が同一の直線上にある三点であれば、他の二点の間にある点は一意である。
4. $A$, $B$, $C$ が同一の直線上にない三点であり、かつ $A$, $B$, $C$ を含む平面に属する直線 $l$ がいかなる $A$, $B$, $C$ とも交わらないとする。もし $l$ が線分 $\overline{AB}$ の一点を通るなら、$l$ は線分 $\overline{AC}$ の一点または $\overline{BC}$ の一点も通る。

III. 合同公理^{Axiom of Congruence}

1. もし $A$ と $B$ が直線 $a$ 上の二点であり、$A '$ が同一または異なる直線 $a '$ 上の一点であるなら、$\overline{AB}$ と $\overline{A ' B '}$ が合同になるような $\alpha '$ 上の一点 $B '$ を常に見つけることができる。
2. もし線分 $\overline{A ' B '}$ と $\overline{A '' B ''}$ が同一の線分 $\overline{AB}$ と合同であるなら、$\overline{A ' B '}$ と $\overline{A '' B ''}$ は互いに合同である。
3. 直線 $a$ 上で、線分 $\overline{AB}$ と $\overline{BC}$ が点 $B$ を除いて共通点を持たないとする。同一または異なる直線 $a '$ 上で、線分 $\overline{A ' B '}$ と $\overline{B ' C '}$ が点 $B '$ を除いて共通点を持たないとする。このとき、もし $\overline{AB}$ と $\overline{A ' B '}$ が合同であり $\overline{BC}$ と $\overline{B ' C '}$ が合同であれば、$\overline{AC}$ と $\overline{A ' C '}$ も合同である。
4. もし $\angle{ABC}$ が角で $\overrightarrow{B ' C '}$ が半直線であるなら、直線 $\overrightarrow{B ' C '}$ の角の一方の方向において $\angle{A ' B ' C '}$ が $\angle{ABC}$ と合同になるような半直線 $\overrightarrow{B ' A '}$ が存在する。
5. もし二つの三角形 $\triangle{ABC}$ と $\triangle{A ' B ' C '}$ に対して $\overline{AB} \cong \overline{A ' B '}$、$\overline{AC} \cong \overline{A ' C '}$、$\angle{BAC} \cong \angle{B ' A ' C '}$ であれば、$\angle{ABC}$ と $\angle{A ' B ' C '}$ は合同である。

IV. 平行公理^{Axiom of Parallels}

直線 $a$ 上にない一点を $A$ とする。すると $a$ と $A$ を含む平面において、$A$ を通り $a$ と交わらない直線は多くとも一つだけ存在する。

V. 連続公理^{Axiom of Continuity}

1. アルキメデスの公理^{Archimedes’ Axiom}: もし $\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ が線分であれば、$A$ から $\overline{CD}$ の複製を $n$ 回延長して $\overrightarrow{AB}$ と並べたときに $B$ を越えるようにする自然数 $n$ が存在する。
2. 直線完備性の公理^{Axiom of Line Completeness}: 既に存在する直線上の点集合を拡張して作られ、元の集合の順序と合同の関係を保つ直線が、公理 I–III と V-1 に従うように構成することは不可能である。

説明

一目で分かるのは、全般的に記号をほとんど用いないユークリッドの公理系と比べて現代的でずっと読みやすい点である。

• 平行公理で目立つのは、ユークリッドの公理系で言及されなかった「平面」という制限が付けられたことである。
• アルキメデスの公理はありがたいことに、解析学におけるアルキメデスの原理の主張を幾何学の語で表したものと見なせる。
• 直線完備性の公理は、直線がそれ自体で完備であるという意味であり、直線が既に十分に多くの点を持っているにもかかわらずさらに点を追加してより大きな直線のようなものを作ることが不可能であることを意味する。

関連項目

• ユークリッドの公理系
• ヒルベルトの公理系
• ベルコフの公理系