スピアマンの順位相関係数r 📂統計的検定

スピアマンの順位相関係数r

定義 ¹

$n$ 個のランダムサンプルが $(X, Y)$ のような順序対として与えられているとし、$k$ 番目のサンプルで $X$ の順位を $X_{k}$、$Y$ の順位を $Y_{k}$ とすると，各々の順位で作られた順序対は $\left\{ \left( X_{k} , Y_{k} \right) \right\}_{k=1}^{n}$ のように表せる。次のように定義された $r$ を スピアマン順位相関係数^{Spearman rank correlation coefficient} と呼ぶ。 $$ r = 1 - \frac{ 6 \sum_{k=1}^{n} \left( X_{k} - Y_{k} \right)^{2} }{ n (n^{2} - 1) } $$

説明

統計学全般で最も広く用いられる相関係数はピアソン相関係数であり、ノンパラメトリック統計学の領域では スピアマン順位相関係数 が最も有名である。

順位の平均と分散: $$ \begin{align*} E \left( R \right) =& {\frac{ n + 1 }{ 2 }} \\ \Var \left( R \right) =& {\frac{ n^{2} - 1 }{ 12 }} \end{align*} $$

$r$ を式的に扱うとその定義は非常に奇妙に見えるが、実際には次のようにピアソン相関係数と同様の常識的な形から出発する。ただし順位の和が $n(n+1)/2$ のような定数に定められているため、結果として簡略化された形が唐突に見えるにすぎない。

$$ \begin{align*} r =& {\frac{ S_{XY} }{ \sqrt{S_{XX} S_{YY}} }} \\ S_{XY} =& \sum_{k=1}^{n} \left( X_{k} - E \left( R_{X} \right) \right) \left( Y_{k} - E \left( R_{Y} \right) \right) \\ S_{XX} =& \sum_{k=1}^{n} \left( X_{k} - E \left( R_{X} \right) \right)^{2} \\ S_{YY} =& \sum_{k=1}^{n} \left( Y_{k} - E \left( R_{Y} \right) \right)^{2} \end{align*} $$

仮説検定

スピアマン相関係数は $[-1, 1]$ に有界されており、$r$ 自体を用いる仮説検定が存在する。

$H_{0}$: 2つの順位順序対は関連がない。
$H_{1}$: 2つの順位順序対は関連がある。

棄却域はマン・ホイットニー検定と類似して別途計算された表を用いて求める。特に両側検定では $-1$ や $1$ に近いほど関連があり、$0$ に近いほど関連がないと見なす。これはパラメトリック手法のうち $t$ 検定に対応するノンパラメトリック検定であると言える。

ケンドール順位相関係数

スピアマン順位相関係数に次いで有名な相関係数として，次のような ケンドール順位相関係数^{Kendall rank correlation coefficient} $\tau$ が知られている。 $$ \tau = \frac{ 2 }{ n (n-1) } \sum_{i<j} \sgn \left( X_{i} - X_{j} \right) \sgn \left( Y_{i} - Y_{j} \right) $$ ここで $\sgn$ は符号関数である。