二項係数の減算公式
公式
次の 二項恒等式 が成り立つ。 $$ \binom{m}{x} \left( {\frac{ m }{ x }} \right)^{-1} = \binom{m-1}{x-1} $$
説明
この等式は 超幾何分布の平均を導くときに用いる。
導出
$$ \begin{align*} \binom{m}{x} \left( {\frac{ m }{ x }} \right)^{-1} =& {\frac{ m! }{ x! \left( m - x \right)! }} {\frac{ x }{ m }} \\ =& {\frac{ m! }{ x! \left( m - x \right)! }} {\frac{ x }{ m }} \\ =& {\frac{ (m-1)! }{ (x-1)! \left( m - x \right)! }} \\ =& {\frac{ (m-1)! }{ (x-1)! \left( (m-1) - (x-1) \right)! }} \\ =& \binom{m-1}{x-1} \end{align*} $$
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