測度論におけるほぼ一様収束 📂測度論

測度論におけるほぼ一様収束

定義 ¹

測度空間 $( X , \mathcal{E} , \mu)$ が与えられているとする.

可測関数のシーケンス $\left\{ f_{n} : X \to \mathbb{R} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ がある可測関数 $f : X \to \mathbb{R}$ と各 $\delta > 0$ に対して $\mu \left( E_{\delta} \right) < \delta$ を満たす $E_{\delta} \in \mathcal{E}$ が存在して $X \setminus E_{\delta}$ で $f_{n}$ が $f$ に一様収束するならば $f_{n}$ は $f$ に ほとんど一様収束^{almost uniformly convergent} と言う。
全ての $\delta > 0$ に対して $\mu \left( E_{\delta} \right) < \delta$ を満たす $E_{\delta} \in \mathcal{E}$ が存在して $X \setminus E_{\delta}$ において $\left\{ f_{n} : X \to \mathbb{R} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ が一様収束するならば $f_{n}$ は ほとんど一様コーシー列^{almost uniformly Cauchy sequence} と呼ぶ。