📂レンマ

イェンセンの不等式の期待値形の証明

定理 ¹

開区間$I$で関数$\phi$が凸であり二回微分可能で、確率変数$X$の期待値$\mu$が存在し、$X \subset I$のとき $$\phi [ E(X) ] \le E [ \phi (X)]$$

他の形

• イェンセンの不等式の有限形
• イェンセンの不等式の積分形
• 条件付きイェンセンの不等式

積分形と非常に似ている形をしている。よく見れば、有限形も項が無限ではないが加重平均の不等式というセンスで期待値と見ることができるだろう。

証明

戦略：一般的な証明では$\phi$は二階導関数を持つ必要はなく、凸であるだけで十分である。便宜上二階導関数であると仮定する。

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テイラーの定理によると $$\phi (x) = \phi (\mu) + \phi ’ (\mu) (x - \mu) + \phi ’’ (\xi) {{(x - \mu)^2} \over {2}}$$ $\xi$が$x$と$\mu$の間に存在する。$\phi$は凸であるので$\phi ’’ (\xi) > 0$、 $$\phi ’’ (\xi) {{(x - \mu)^2} \over {2}} > 0$$ まとめると $$\phi (x) \ge \phi (\mu) + \phi ’ (\mu) (x - \mu)$$ 両辺に期待値$E$を取ると$E(X-\mu) = 0$であるため、 $$E( \phi ( X ) ) \ge \phi ( E (X) )$$

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