📂統計的検定

正規分布に従う集団の母分散の推定

仮説検定 ¹

標本 の数が $n$ である母集団の分布が 正規分布 $N \left( \mu , \sigma^{2} \right)$ に従うとしよう。母分散 の候補 $\sigma_{0}$ に対する 仮説検定 は次のようになる。

• $H_{0}$: $\sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$
• $H_{1}$: $\sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}$

検定統計量

検定統計量 は 標本分散 $S^{2}$ について次のようである。 $$\mathcal{X}^{2} = \frac{ \left( n - 1 \right) S^{2} }{ \sigma_{0}^{2} }$$ この検定統計量は帰無仮説が正しいという仮定の下で 自由度 が $(n-1)$ である カイ二乗分布 に従う。

説明

仮説は 有意水準 $\alpha$ に対して $\mathcal{X}^{2}$ が $\chi^{2}_{1 - \alpha} (n-1)$ と $\chi^{2}_{\alpha} (n-1)$ の間にあるかを確認する両側検定^{two-tailed test}を通じて行われる。もし以下のように $\mathcal{X}^{2}$ が範囲内にある場合、帰無仮説を棄却できなくなり、母分散が $\sigma_{0}^{2}$ であるという結論を出せる。 $$\chi^{2}_{\alpha/2} (n-1) \le \mathcal{X}^{2} \le \chi^{2}_{1 - \alpha/2} (n-1)$$