対称実数行列の全ての固有値が0または1である場合、それが冪等行列であることを証明
定理
対称行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ の固有値がすべて $0$ または $1$ である場合、$A$ は冪等行列である。
説明
この補助定理は正規分布のランダムベクトル二次形式のカイ二乗性の同値条件の証明およびコックランの定理の証明に使われる。
証明
スペクトル理論: もし $A$ がエルミート行列であれば、ユニタリー対角化が可能である。 $$ A = A^{\ast} \implies A = Q \Lambda Q^{\ast} $$
実数行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ が対称行列であればエルミート行列だから、対角化が可能である。$A$ の固有値で構成された対角行列 $\Lambda$ とユニタリ行列 $Q = Q^{\ast} = Q^{T}$ について $A = Q \Lambda Q^{T}$ とおくと次が得られる。 $$ A^{2} = \left( Q \Lambda Q^{T} \right) \left( Q \Lambda Q^{T} \right) = Q \Lambda^{2} Q^{T} $$ ところで対角行列 $\Lambda$ は主対角成分として $0$ と $1$ のみを持つので $\Lambda^{2} = \Lambda$ であり、次のようにして $A$ は冪等行列であることがわかる。 $$ A^{2} = Q \Lambda^{2} Q^{T} = Q \Lambda Q^{T} = A $$
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