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正規分布ランダムベクトルの二次形式におけるカイ二乗性の同値条件 📂数理統計学

正規分布ランダムベクトルの二次形式におけるカイ二乗性の同値条件

定理

サンプル X=(X1,,Xn)\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)X1,,XniidN(0,σ2)X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} N \left( 0, \sigma^{2} \right) に従って iid正規分布 に従うとする。ランクrnr \le n対称行列 ARn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} に対して ランダムベクトルの二次形式Q=σ2XTAXQ = \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X} とすると、次が成立する。 Qχ2(r)    A2=A Q \sim \chi^{2} (r) \iff A^{2} = A 言い換えると、QQカイ二乗分布 χ2(r)\chi^{2} (r) に従うというものの 同値条件 は、AA冪等行列 であることだ。

説明

この定理は ホグ-クレイグ定理の証明コクラン定理の証明 に用いられる。

証明

正規分布のランダムベクトル二次形式の積率生成関数: サンプル X=(X1,,Xn)\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)X1,,XniidN(0,σ2)X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} N \left( 0, \sigma^{2} \right) に従って iid正規分布 に従うとする。ランクrnr \le n対称行列 ARn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} に対して ランダムベクトルの二次形式 Q=σ2XTAXQ = \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X}積率生成関数 は次の通りだ。 MQ(t)=i=1r(12tλi)1/2=det(In2tA)1/2,t<1/2λ1 M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} = \det \left( I_{n} - 2 t A \right)^{-1/2} \qquad , | t | < 1 / 2 \lambda_{1} ここで InRn×nI_{n} \in \mathbb{R}^{n \times n}単位行列det\det行列式 である。λ1λr\lambda_{1} \ge \cdots \ge \lambda_{r}AA00 ではない 固有値 を一般性を失わずに降順に並べたものだ。

MQ(t)=i=1r(12tλi)1/2 M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} QQ の積率生成関数 MQ(t)M_{Q} (t) は上記の通りだ。

(    )(\implies)

カイ二乗分布の積率生成関数: 自由度 rr のカイ二乗分布に従う確率変数の 積率生成関数 は次の通りだ。 m(t)=(12t)r/2,t<12m(t) = (1-2t)^{-r/2} \qquad , t < {{ 1 } \over { 2 }}

QQχ2(r)\chi^{2} (r) に従うと仮定すると、QQ の積率生成関数は 00 付近の tt で2つの形式を持つ。 MQ(t)=i=1r(12tλi)1/2=(12t)r/2 M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} = (1-2t)^{-r/2} 両辺を 1/2-1/2 乗すると次を得る。 i=1r(12tλi)=(12t)r \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right) = (1-2t)^{r}

固有値が 0011 だけの対称実数行列: 対称行列 ARn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n}固有値 がすべて 00 または 11 であるとき、AA冪等行列 である。

係数が複素数である因数分解は多項式はその因数分解が唯一 であるため、λ1==λr=1\lambda_{1} = \cdots = \lambda_{r} = 1 だ。残りの固有値はすべて 00 であるため、対称行列 ARn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} は冪等行列だ。

(    )(\impliedby)

冪等行列の固有値: 冪等行列固有値00 または 11 だけだ。

AA が冪等行列であると仮定しよう。冪等行列の固有値は 00 または 11 だけで、λ1,,λr\lambda_{1}, \cdots , \lambda_{r}00 でない固有値だとするため、すべて 11 だ。QQ の積率生成関数は次の通りであるため、QQ は自由度 rr のカイ二乗分布に従う。 MQ(t)=i=1r(12tλi)1/2=i=1r(12t)1/2=(12t)r/2 \begin{align*} M_{Q} (t) =& \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} \\ =& \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \right)^{-1/2} \\ =& \left( 1 - 2 t \right)^{-r/2} \end{align*}