📂動力学

ピッチフォーク分岐

定義 ^{1 2}

ピッチフォークバイフケーション^{pitchfork bifurcation}は、動力学系のパラメータ変化によって固定点の安定性が反転し、新たに2つの固定点が現れたり消えたりするバイフケーションです。

ノーマルフォーム

ピッチフォークバイフケーションにはスーパークリティカル^{supercritical}とサブクリティカル^subcriticalの2種類があり、以下のノーマルフォームを持ちます:

• スーパークリティカル: $$\dot{x} = rx - x^{3}$$
• サブクリティカル: $$\dot{x} = rx + x^{3}$$

ダイアグラム

ピッチフォークバイフケーションのバイフケーションダイアグラムは以下の通りです:

• スーパークリティカル:
• サブクリティカル:

説明

ピッチフォークはフォークとも呼ばれる農具です。形状から一つの固定点が三つに分岐する様子からその名が付けられており、バイフケーションの教科書的な例として最初に言及されることが多いです。

形式的な定義 ³

ノーマルフォームではないベクトル場 $$ \dot{x} = f \left( x, \mu \right) \qquad x, \mu \in \mathbb{R}^{1} $$ が$\left( x, \mu \right) = (0,0)$でピッチフォークバイフケーションを経験するとは、$x = 0$がノンハイパーボリック^{nonhyperbolic}な固定点であり、以下の4つの条件を満たすことを意味します。 $$ \begin{align*} {{ \partial f } \over { \partial \mu }} (0,0) =& 0 \\ {{ \partial^{2} f } \over { \partial x^{2} }} (0,0) =& 0 \\ {{ \partial^{2} f } \over { \partial x \partial \mu }} (0,0) \ne& 0 \\ {{ \partial^{3} f } \over { \partial x^{3} }} (0,0) \ne& 0 \end{align*} $$ 特に最後の条件では、${{ \partial^{3} f } \over { \partial x^{3} }} (0,0) < 0$がスーパークリティカル、${{ \partial^{3} f } \over { \partial x^{3} }} (0,0) > 0$がサブクリティカルであることを示します。一方、$x=0$がノンハイパーボリックな固定点であることは、以下の十分条件を持ちます。必ずしも$f_{x} (0,0) = 0$である必要はありませんが、はるかに単純です。 $$ \begin{align*} f(0,0) =& 0 \\ {{ \partial f } \over { \partial x }} (0,0) =& 0 \end{align*} $$