ダイナミクスにおける分岐 📂動力学

ダイナミクスにおける分岐

定義 ¹ ²

力学系の中でパラメーターの変化に伴ってフェーズポートレートの位相的不一致^{topological nonequivalent}が現れることを分岐^bifurcationと呼ぶ。パラメーター空間^{parameter space}においてシステムの位相的タイプが変わる点、すなわち分岐が発生する点を分岐点^{bifurcation point}と呼ぶ。

ローカルとグローバル ³

固定点のある小さな近傍を観察することで検出できる分岐はローカル^localと言う。一方、固定点やサイクルの小さな近傍を観察するだけでは検出できない分岐をグローバル^globalと言う。

説明

通常、分岐という概念は「理解する」というよりは「受け入れる」ものだが、直感的には何となくわかるが、それを数学的に表現するのは容易ではないためだ。上記の定義は比較的数学的であるものの、位相的不一致が「現れる」ことという説明の中で「現れる」という表現は依然として自然言語に依存している。

非線形力学の関心は通常システムの分析にあり、時間の経過に伴って未来がどうなるかを予測できるかどうかが自然な質問となる。そのシステムが現実をよく反映しているならば、力学的な分析だけでも実用的な利用価値が生じる。一方で、与えられたシステムの軌道^trajectoryを見て状態^stateがどのように変わるかが気になる場合、分岐を見るということはシステムそのものがどのように変わるかに関心を持つことを意味する。少なくとも一段高い次元でシステムの集合を扱うことであり、ダイナミクスの世界では非常に当然の知識である。

直感的な例

数学的に非常に身体に響く例ではないかもしれないが、分岐がどのように関心を集めるかを例を通じて理解しよう。

上図は下に重力が作用し、x軸とz軸のみの2次元空間で柱の上に重りを載せた状況を描写している。重りが軽い場合、柱は何の問題もなく支えるが、耐えられないほど重りが重くなると柱が曲がるとしよう。図中の赤い記号は左に少し動いたが、実際には右に曲がっても全く問題はなく、図式的に描くと次のようになる。

この図式では、重さが軽いと記号の位置が真っ直ぐに維持されるが、青い線を越えて重りが重くなると左側または右側に曲がることを表現している。理論的に完全にどちらにも偏っていなければ曲がらないかもしれないが、非常にわずかな… $\varepsilon \approx 0$の違いでも中心から逸脱する。この意味で記号の位置は軽いときに1つの安定的な固定点を持っていたが、青い線を越えると固定点が不安定になり、2つの安定的な固定点が生じる。「重りの重さ」というパラメーターの変化に伴い位相的不一致が現れたので（ベクトルフィールドが異なっているので）、これは分岐であり、青い線は分岐点に対応する。こうして描かれた図式を分岐図という。

このような例を離れて、柱が支えているのが道路^road…つまり橋^bridgeのモデリングだと考えてみると、分岐を見る理由が一瞬で納得できるだろう。分岐には非常に多くの例があり、必ずしもこのような物理的な問題に限らず、感染病モデルの基本再生産数のような臨界点^{critical point}、閾値^thresholdなどについての探求をはるかに幅広い範囲に拡張することができる。

種類

分岐は多くの学者たちの関心を集めたため、非常に多くの種類が発見された。その中でもいくつかの有名なものは以下の通りである。

ローカル分岐

ピッチフォーク分岐 $\dot{x} = rx \mp x^{3}$
🔒(24/10/13) トランスクリティカル分岐 $\dot{x} = rx - x^{2}$
🔒(24/10/17) サドル-ノード分岐 $\dot{x} = r + x^{2}$
🔒(24/11/30) 周期倍分岐

グローバル分岐

Kuznetsov. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory(2nd Edition): p57. ↩︎
Strogatz. (2015). Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering(2nd Edition): p43. ↩︎
Kuznetsov. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory(2nd Edition): p58. ↩︎