トェプリッツ行列はエルミート行列である
📂行列代数トェプリッツ行列はエルミート行列である
証明
正定値行列 A∈Cn×n は エルミート行列だ。もちろん、半正定値行列もエルミート行列だ。
証明
x∗Ax=λ
A が正定値行列ならば、全ての x∈Cn に対して、二次形式 x∗Ax はある実数 λ∈R として上のように表される。両辺に 共役転置を取れば、λ∈R の複素共役はそのままの λ=λ なので、次を得る。
⟹⟹x∗Ax=λx∗A∗x=λ=λx∗(A−A∗)x=0
二次形式が0になるための必要十分条件: 全ての x∈Cn に対して、二次形式 x∗Ax が 0 になるための必要十分条件は、A が零行列であることだ:
x∗Ax=0,∀x∈Cn⟺A=O
(A−A∗)=O なので、A はエルミート行列だ。
証明過程で、λ に共役を取る点を見ると、正定値であろうと半正定値であろうと特に関係ないことが分かる。
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