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トェプリッツ行列はエルミート行列である 📂行列代数

トェプリッツ行列はエルミート行列である

証明

正定値行列 ACn×nA \in \mathbb{C}^{n \times n}エルミート行列だ。もちろん、半正定値行列もエルミート行列だ。

証明 1

xAx=λ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda AA が正定値行列ならば、全ての xCn\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n} に対して、二次形式 xAx\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} はある実数 λR\lambda \in \mathbb{R} として上のように表される。両辺に 共役転置を取れば、λR\lambda \in \mathbb{R}複素共役はそのままの λ=λ\overline{\lambda} = \lambda なので、次を得る。 xAx=λ    xAx=λ=λ    x(AA)x=0 \begin{align*} & \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \\ \implies & \mathbf{x}^{\ast} A^{\ast} \mathbf{x} = \overline{\lambda} = \lambda \\ \implies & \mathbf{x}^{\ast} \left( A - A^{\ast} \right) \mathbf{x} = 0 \end{align*}

二次形式が0になるための必要十分条件: 全ての xCn\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n} に対して、二次形式 xAx\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}00 になるための必要十分条件は、AA零行列であることだ: xAx=0,xCn    A=O \mathbf{x}^{*} A \mathbf{x} = 0 , \forall \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n} \iff A = O

(AA)=O\left( A - A^{\ast} \right) = O なので、AA はエルミート行列だ。


証明過程で、λ\lambda に共役を取る点を見ると、正定値であろうと半正定値であろうと特に関係ないことが分かる。