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ヘルダーの不等式 📂線形代数

ヘルダーの不等式

定義

1p+1q=1\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 を満たして1より大きい二つの定数 p,qp, q と u,v∈Cn\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n について、次の不等式が成り立つ。

∣⟨u,v⟩∣=∣u∗v∣≤∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q | \left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | = |\mathbf{u} ^{\ast} \mathbf{v}| \le ||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q}

これをヘルダーの不等式hoelder’s inequalityと言う。

説明

本来はHölder’s inequalityと書くべきだが、ウムラウトがあるため代替表記した。pp-ノルムとqq-ノルムが混ざっているのが驚くべき不等式だ。用途や証明方法に特に大きな関係はないが、p=q=2p=q=2である時はコーシー-シュワルツの不等式になる。

証明

u=0\mathbf{u} = \mathbb{0} または v=0\mathbf{v} = \mathbb{0}の場合は自明なので、どちらも 0\mathbb{0} でない場合を考えよう。

ヤングの不等式

1p+1q=1\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 を満たして1より大きい二つの定数 p,qp,qと二つの正の数 a,ba,b について

ab≤app+bqq ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{q}} \over {q}}

ヤングの不等式にa=∣ui∣∣∣u∣∣p,b=∣vi∣∣∣v∣∣qa = \dfrac{ | u_{i} | }{|| \mathbf{u}||_{p} }, b = \dfrac{ | v_{i} | }{|| \mathbf{v} || _{q} }を代入すると、以下の不等式が得られる。

∣uivi∣∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q≤1p∣ui∣p∣∣u∣∣pp+1q∣vi∣q∣∣v∣∣qq {{| u_{i} v_{i} |} \over {||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} }} \le {{1} \over {p}} {{ |u_{i}|^{p} } \over {|| \mathbf{u}||_{p}^{p} }} + {{1} \over {q}} {{ |v_{i}|^q } \over {|| \mathbf{v}||_{q}^{q} }}

式の両辺に∑i=1n\displaystyle \sum_{i = 1}^{n}を取ると次のようになる。

∑i=1n∣uivi∣∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q≤∑i=1n(1p∣ui∣p∣∣u∣∣pp+1q∣vi∣q∣∣v∣∣qq)  ⟹  ∑i=1n∣uivi∣∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q≤1p∑i=1n∣ui∣p∣∣u∣∣pp+1q∑i=1n∣vi∣q∣∣v∣∣qq  ⟹  ∣⟨u,v⟩∣∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q≤1p∣∣u∣∣pp∣∣u∣∣pp+1q∣∣v∣∣qq∣∣v∣∣qq=1p+1q=1 \begin{align*} & \sum_{i=1}^{n} \dfrac{| u_{i} v_{i} |}{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \sum_{i = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{p} \dfrac{ |u_{i}|^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ |v_{i}|^q }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } \right) \\ \implies && \dfrac{ \sum_{i=1}^{n} | u_{i} v_{i} |}{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \dfrac{1}{p} \dfrac{ \sum_{i=1}^{n}|u_{i}|^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ \sum_{i=1}^{n}|v_{i}|^q }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } \\ \implies && \dfrac{ |\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | }{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \dfrac{1}{p} \dfrac{ || \mathbf{u}||_{p}^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ || \mathbf{v}||_{q}^{q} }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \end{align*}

三行目はpp-ノルムの定義 (∑i=1n∣ui∣p)1/p=∥u∥p\left( \sum_{i=1}^{n}|u_{i}|^{p} \right)^{1/p} = \left\| \mathbf{u} \right\|_{p}により成り立つ。両辺に∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q}を掛けると次のようになる。

∣⟨u,v⟩∣≤∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q | \left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | \le ||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q}

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参照