ヘルダーの不等式
定義
$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$ を満たして1より大きい二つの定数 $p, q$ と $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$ について、次の不等式が成り立つ。
$$ | \left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | = |\mathbf{u} ^{\ast} \mathbf{v}| \le ||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} $$
これをヘルダーの不等式hoelder’s inequalityと言う。
説明
本来はHölder’s inequalityと書くべきだが、ウムラウトがあるため代替表記した。$p$-ノルムと$q$-ノルムが混ざっているのが驚くべき不等式だ。用途や証明方法に特に大きな関係はないが、$p=q=2$である時はコーシー-シュワルツの不等式になる。
証明
$\mathbf{u} = \mathbb{0}$ または $\mathbf{v} = \mathbb{0}$の場合は自明なので、どちらも $\mathbb{0}$ でない場合を考えよう。
$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$ を満たして1より大きい二つの定数 $p,q$と二つの正の数 $a,b$ について
$$ ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{q}} \over {q}} $$
ヤングの不等式に$a = \dfrac{ | u_{i} | }{|| \mathbf{u}||_{p} }, b = \dfrac{ | v_{i} | }{|| \mathbf{v} || _{q} }$を代入すると、以下の不等式が得られる。
$$ {{| u_{i} v_{i} |} \over {||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} }} \le {{1} \over {p}} {{ |u_{i}|^{p} } \over {|| \mathbf{u}||_{p}^{p} }} + {{1} \over {q}} {{ |v_{i}|^q } \over {|| \mathbf{v}||_{q}^{q} }} $$
式の両辺に$\displaystyle \sum_{i = 1}^{n}$を取ると次のようになる。
$$ \begin{align*} & \sum_{i=1}^{n} \dfrac{| u_{i} v_{i} |}{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \sum_{i = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{p} \dfrac{ |u_{i}|^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ |v_{i}|^q }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } \right) \\ \implies && \dfrac{ \sum_{i=1}^{n} | u_{i} v_{i} |}{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \dfrac{1}{p} \dfrac{ \sum_{i=1}^{n}|u_{i}|^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ \sum_{i=1}^{n}|v_{i}|^q }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } \\ \implies && \dfrac{ |\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | }{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \dfrac{1}{p} \dfrac{ || \mathbf{u}||_{p}^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ || \mathbf{v}||_{q}^{q} }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \end{align*} $$
三行目は$p$-ノルムの定義 $\left( \sum_{i=1}^{n}|u_{i}|^{p} \right)^{1/p} = \left\| \mathbf{u} \right\|_{p}$により成り立つ。両辺に$||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q}$を掛けると次のようになる。
$$ | \left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | \le ||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} $$
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