📂関数

ハードスレッショルディングとソフトスレッショルディングの関数として

定義 ¹

閾値^threshold $\lambda \in \mathbb{R}$ が与えられているとする。

ハードスレッショルディング

以下のように定義された $\eta _{H} \left( x ; \lambda \right) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をハードスレッショルディング^{hard thresholding}という。 $$ \begin{align*} \eta _{H} \left( x ; \lambda \right) =& x \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left| x \right| \ge \lambda \right\}} \\ =& \begin{cases} x & , \text{if } x \in [-\lambda, \lambda] \\ 0 & , \text{if } x \notin [-\lambda, \lambda] \end{cases} \end{align*} $$ ここで、$\mathbf{1}_{\cdot}$ は指示関数である。

ソフトスレッショルディング

以下のように定義された $\eta _{S} \left( x ; \lambda \right) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をソフトスレッショルディング^{soft thresholding}という。 $$ \begin{align*} \eta _{S} \left( x ; \lambda \right) =& \operatorname{sign} (x) \cdot \operatorname{ReLU} \left( \left| x \right| - \lambda \right) \\ =& \begin{cases} \lambda - \left| x \right| & , \text{if } x < - \lambda \\ 0 & , \text{if } x \in [-\lambda, \lambda] \\ \left| x \right| - \lambda & , \text{if } x > \lambda \end{cases} \end{align*} $$ ここで、$\operatorname{sign}$ は符号、$\operatorname{ReLU}$ はReLUである。

説明

紹介された関数の形状は、次のようになっている²。

スレッショルディング^thresholdingは、アルゴリズムの観点から見れば、大したことのない値を削除する、デノイジング^denoisingの意味がある。

ハードとソフトの違いは主に数学的に目立つのが、$\pm \lambda$ での連続性であり、それ以外では$\left[ - \lambda , \lambda \right]$ から$0$ への点や、同じ擬似関数を使うなどほとんど類似している。通常は、用途に合わせてどちらか一方を選んで使うことが多く、両方を使うことはほとんどなく、表記も$\eta_{\lambda} (x)$、$H$、または$S$ を省略して、下付き文字の位置に閾値$\lambda$ を記すことが多い。